¿Es $(7,4)$ la solución de entero sólo no trivial para $(n)_k=n!$?

Question

Accidentalmente, me di cuenta de que:

$$(7)_4=7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10=2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7=7!$$

Aquí $(n)_k$ es el símbolo de Pochhammer.

Me pregunto, ¿hay algún otro no trivial entero de soluciones de $(n,k)$?

$$(n)_k=n!$$

Entre los que consideran trivial tenemos $(0,0),(1,0),(1,1),(2,1)$. De alguna manera, estoy seguro de que voy a tener un montón de comentarios con estas cuatro soluciones.

Esta es la trama implícita de la ecuación equivalente:

$$\Gamma (n+k)=n \Gamma^2 (n)$$

Answer 1

Si $n+k\geq 14$, luego están a dos primos en el intervalo $\left(\frac{n+k-1}{2},n+k-1\right]$. Por lo tanto, no igual a $(n+k-1)!$ $n\cdot \big((n-1)!\big)^2$. Esto deja el % de casos $n+k\leq 13$a tratar.