Demostrando un morfismo es étale

Question

Me gustaría un poco de ayuda para demostrar que un morfismos de esquemas $f:X\to Y$ si étale.

Aquí están los personajes: $X=\textrm{Spec}\,k[x,x^{-1}]$, $Y=\textrm{Spec}\,k[t]$ y $f$ es inducida por $t\mapsto x^2$. [Asumimos $k=\overline k$]

Traté de mostrar, $f$ es étale en dos formas diferentes.

1. Mostrando que es plana y unramified. Sin duda es plana, porque es dominante sobre un nonsingular de la curva (y es dominante porque $f^\sharp$ es inyectiva). Yo no soy capaz de demostrar que es unramified, porque yo no figura este morfismos de manera concreta. Lo que puedo ver es sólo que bajo $f^\sharp$ un polinomio $p(t)=\sum_{i\geq 0}a_it^i$$a_0+a_1x^2+a_2t^4+\dots$. Puede usted por favor ayuda que me puedan ver la realidad de la manera más concreta de lo que es la imagen de un punto de $x\in X$ bajo $f$?
2. Mostrando que $f$ es suave de dimensión relacionada $0$. Es sin duda plano de dimensión relacionada $0$, pero todavía tengo que muestran que la geometría de las fibras de $f$ son nonsingular y puro de la dimensión $0$. Así, por cada punto cerrado $y\in Y$ tenemos $X_y=\textrm{Spec}\,(k[x,x^{-1}]\otimes_{k[t]}k)=X_{\overline y}$ y más de los genéricos de la fibra $$ X_{\overline{\eta}}=\textrm{Spec}\,k[x,x^{-1}]\otimes_{k(t)}\overline{k(t)}. $$ Me puede ayudar a entender lo que "es" esta $X_{\overline y}$?

Gracias a todos.

Answer 1

0 Usted debe asumir la $char.k\neq 2$, de lo contrario el morfismos $f$ no es étale a todos.

1 La imagen de la genérica punto de $(0)\in \textrm{Spec}\,k[x,x^{-1}]$ $X$ es el punto genérico $(0)\in \textrm{Spec}\,k[t]$$Y$.
El resto de puntos de $X$ están cerrados, y la imagen de un punto cerrado punto de $(x-a) \in \textrm{Spec}\,k[x,x^{-1}] \:(a\neq 0)$ $X$ es el punto de cierre $(t-a^2)\in \textrm{Spec}\,k[t]$$Y$.

2 El genérico de fibra de $f$ es la fibra de la genérica punto de $\eta=(0)=\textrm{Spec}\,k[t]$.
Que la fibra se compone de los genéricos punto de $\xi=(0)\in\ \textrm{Spec}\,k[x,x^{-1}]$.
En el punto genérico $\eta$ $Y$ el doble de morfismos de los locales de los anillos es la extensión de campo $f^{\star}_\eta:\mathcal O_{Y,\eta}=k(t)\hookrightarrow k(x)=\mathcal O_{X,\xi}:t\mapsto x^2$.
Esta extensión de campo es (como debe ser) étale de grado 2 o, en el más tradicional de la terminología , separable de grado 2.

Answer 2

Mostrando que es unramified parece más fácil para mí. De hecho, tenemos que mostrar que para cualquier $P\in X$$Q=f(P)$, usted tiene que $f^\sharp(\mathfrak m_Q)\cdot\mathcal O_{X,P}=\mathfrak m_P$. Bastante fácilmente, $Y$ es solo la línea, por lo que es unidimensional y suave, y sabemos que $\mathfrak m_Q=(\pi)$ es un director ideal, generado por un uniformizing parámetro de la forma $\pi=t-a$. A continuación, $f^\sharp(\pi)=x^2-a$. Ya somos más de un algebraicamente cerrado de campo, $f^\sharp(\pi)=(x-a_1)(x-a_2)$ para ciertos $a_1,a_2\in k$. Tenga en cuenta que $a_1=a_2$ si y sólo si $a=0$ (esto es donde supongo tímidamente que la característica no 2). Tenemos la certeza de que $f^\sharp(\mathfrak m_Q)\subseteq\mathfrak m_P$ $\mathfrak m_P=(x-b)$ algunos $b\ne 0$, por lo que tenemos $(x-a_1)(x-a_2)=\rho\cdot(x-b)$ algunos $\rho\in\mathcal O_{X,P}$. Desde $\mathcal O_{X,P}$ es la localización de la UFD $k[x]$, es de nuevo un disco flash usb. Desde $x-a_i$ es irreducible o una unidad de e $x-b$ es irreductible, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $b=a_1$$\mathfrak m_P=(x-a_1)$. Tenga en cuenta que esto ya implica $a\ne 0$. Desde $x-a_2$ es una unidad en $\mathcal O_{X,P}$, hemos terminado.