¿Cuál es el punto de tener al menos tres puntos en cada línea de un plano proyectivo?

Question

Una definición común de "proyectiva del plano" incluye los siguientes axiomas:

1. cada par de puntos distintos se encuentra en exactamente una línea
2. cada par de líneas distintas se reúnen en exactamente un punto
3. cada línea tiene al menos tres puntos
4. no todos los puntos están en la misma línea

(tomado de la nlab)

Me pregunto: ¿Cuál es el punto de tener el axioma 3.?

Supongo que la respuesta es "excluir" degenerada "de los casos", sin embargo quiero ver más "práctico" de razones. Hacer muchas importantes teoremas sobre proyectivas de los planos de falla para estos casos?

Si alguien sabe acerca de una categoría o categorías de planos proyectivos (morfismos podría ser "tomando las líneas a las líneas", por ejemplo) y, cómo inclusión o exclusión en el axioma 3. afecta a las propiedades de una categoría, sería interesante para mí también.

Answer 1

Sin axioma 3. no no es cierto que cualquiera de las dos líneas tienen el mismo cardinal, que el número de puntos igual al número de líneas, que el número de líneas que contienen un punto es constante y los demás en la misma vena. Un ejemplo importante son afines planos (pero también sin el axioma 2).

En cuanto a la última parte de la pregunta, usted tiene que mirar en la noción de incidencia de la estructura o de la incidencia de la geometría. Un lugar decente para empezar es la página de wikipedia.

También J. Ueberberg, Fundamentos de la Incidencia de la Geometría es una buena introducción.

Answer 2

Voy a intentar dar una respuesta no a lo largo de las patologías que surgen cuando la eliminación de axioma 3, sino más bien lo útil generalización debe ser.

Primero, permítanme recordarles de la Veblen-Jóvenes Teorema:

Si el teorema de Desargues mantiene en un resumen proyectiva del plano, es de la forma $P(V)$ para algunos vectorspace $V$ más de un sesgo de campo $k$. Si Vilano teorema sostiene así, el campo puede ser encontrado para ser conmutativa.

Esta es una forma de concreción de resultados. De hecho, si nos permitimos hablar de resumen espacios proyectivos de general dimensión, todos abstracto proyectiva espacios de dimensión mayor que $2$ son de la forma $P(V)$ para un vectorspace $V$ a través de una skewfield. Esto requiere, obviamente, el axioma 3, ya que se tiene para todos los espacios proyectivos de la forma $P(V)$!

Como un ejemplo, el teorema anterior, obviamente, no se sostendrá si permitimos que como nuestro proyectiva del plano de un conjunto de tres elementos con líneas definidas como dos elementos, subconjuntos. Ambos Vilano y Desargue son verdaderas en este "plano proyectivo'.

Sin embargo, hay una manera de hacer sentido de que el ejemplo anterior: "debería" ser un espacio proyectivo sobre el "campo con un solo elemento". Ahora tenga en cuenta que una cosa en el sentido estricto de la redacción no existe. Pero en un montón de diferentes áreas en las matemáticas no hay evidencia de que una generalización del término de campo debe existir, y que no debe ser algo que la gente llama 'la geometría absoluta", es decir, la geometría algebraica sobre el campo con un solo elemento.

Si desea ver una definición de espacio proyectivo que no hace cumplir axioma 3, pero es todavía sensible, te recomiendo Cohn documento introductorio Geometría Proyectiva sobre $\mathbb F_1$. Definición 1 en este trabajo pueden darle una forma más satisfactoria sensación.

Answer 3

La verdadera razón es para evitar casos degenerados. A veces las propiedades están dadas como:

1. Cada uno de los dos puntos distintos de P es el incidente con una única línea.
2. Cada línea es incidente con al menos tres puntos.
3. Cada una de las dos líneas distintas de P se reúnen en un único punto.
4. Hay cuatro puntos de P, no hay tres colineales.

En otras palabras, queremos que nuestros proyectiva del plano que contiene al menos un cuadrángulo (tenga en cuenta que mi 2. y 4. juntos son el equivalente a 3. y 4. juntos). La eliminación de este requisito, podemos terminar con un triángulo (3 puntos, 3 líneas) o ejemplos como el dado por adhalanay, donde se comienza con un triángulo y añadir puntos en una de las líneas (y líneas adicionales para completar todo). ¿Cuáles son los grandes problemas con estos ejemplos?

1. Usted no obtendrá una afín avión a través del método normal (la definición de una línea de $\ell_{\infty}$ y retirarlo junto con sus puntos). Dependiendo de cómo se hace esto, se termina con un solo punto de la izquierda, o usted podría terminar con una sola línea.
2. Si usted no tiene el mismo número de puntos en cada línea, entonces el punto/línea de adyacencia gráfico ya no da un ejemplo de un Moore gráfico, a diferencia de los otros casos.
3. Los problemas surgen en coordinatizing el plano con una Planar Ternario Anillo.