$f=X^3+aX+b$ tiene raíces pares diferentes si $-4a^3-27b^2\neq0$

Question

Tengo que probar que $f=X^3+aX+b\in F$ donde $f$ es un polinomio producto de términos lineales en un campo $F$ tiene raíces distintas si $d=-4a^3-27b^2\neq0$ .

Ahora lo que he hecho es $f=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ . Así que tengo $a=-\alpha\beta-\alpha^2-\beta^2$ y $b=\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$ después de usar $-(\alpha + \beta+\gamma)=0$ . Ahora para una dirección que puedo conectar $\gamma=\alpha\Rightarrow\beta=-2\alpha$ o $\alpha=\beta$ Así que $d=0$ si no son pares diferentes. Ahora no encuentro un argumento rápido. Hice algunos cálculos y obtuve (por fuerza bruta, enchufando en $x\alpha$ para $\beta$ ): iff $g:=4x^6+12x^5-3x^4-26x^3-3x^2+12x+4=0$ entonces para $\beta=\alpha x$ , $d$ será cero (como $F$ es un campo obtendré todas las soluciones con esta sustitución). Así que después de saber $x=-2,1,-1/2$ Supero la división polinómica $g=(x-1)^2(x+2)^2(2x+1)^2$ . Así que ya está demostrado. ¡Ahora todo esto parece demasiado cálculo para este ejercicio! ¡Por favor, dime una manera más fácil!

Answer 1

Obsérvese que un polinomio $f(X)$ tiene una raíz múltiple si y sólo si tiene una raíz común con su derivada $f'(X)$ (puede comprobarse escribiendo $f$ como producto de factores lineales).

En tu caso, $f(X)=X^3+aX+b$ Así que $f'(X)=3X^2+a$ . Si $a=0$ los polinomios tienen una raíz común si y sólo si $b=0$ por lo que el resultado es cierto en este caso y podemos suponer que $a\not=0$ .

Si existe una raíz de $f(X)$ y $f'(X)$ es una raíz de $f(X)-\frac{X}{3}f'(X)=\frac{2a}{3}X+b$ así es $X=-\frac{3b}{2a}$ .

Informática $$f'(-\frac{3b}{2a})=3\frac{9b^2}{4a^2}+a=\frac{27b^2+4a^3}{4a^2},$$ $$f(-\frac{3b}{2a})=-\frac{27b^3}{8a^3}-\frac{3b}{2}+b=\frac{-27b^3-12a^3b+8a^3b}{8a^3}=\frac{b(-27b^2-4a^3)}{8a^3},$$ encontrará directamente que $f(X)$ tiene una raíz múltiple si y sólo si $27b^2+4a^3=0$ .