¿Por qué ' t la fórmula relativista para el momentum parecen coherentes con las colisiones?

Question

La fórmula relativista para el impulso $$p = \frac{mv}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} \,.$$

En el ejemplo siguiente, puedo aplicar la fórmula en la forma más básica posible la suma de las velocidades. Me calcular el momento antes de la colisión, $p_{0}$, y la velocidad después de la colisión, $p_{1}$. Ciegamente el uso de estas fórmulas, he llegado a la conclusión de que $p_{0} \neq p_{1}$. Sospecho que la mayoría de los estudiantes principiantes de la relatividad especial no sería capaz de encontrar faltas en este argumento; por lo tanto, vale la pena responder y de gran interés para el Intercambio de la Pila de la comunidad.

Considere dos objetos de masa $m$ inicialmente en reposo y que, después de algunos combustión, se separan el uno del otro con la velocidad de $v$ positiva en la $x$ dirección y negativa $x$ dirección. Mueva el marco de referencia que se mueve a la velocidad de $v$ positiva en la $x$ dirección con respecto a la posición inicial de los bloques en reposo.

Antes de la colisión, la velocidad aparente de los dos objetos se unió al resto es $-v$. Por lo tanto, \ $$p_{0} = -2\frac{mv}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} \,.$$

Después de la colisión, el objeto que se mueve en el sentido positivo del $x$ dirección parece estacionaria con respecto al marco de referencia. Aplicando la fórmula de la suma de las velocidades, la velocidad del objeto en movimiento en el negativo de la $x$ dirección es, $$v_{-} = \frac{-2v}{1 + \dfrac{v^2}{c^2}} \,.$$

Por lo tanto, el momentum total del sistema es $$p_{1} = \frac{mv_{-}}{\sqrt{1 - \dfrac{v_{-}^2}{c^2}}} = -2\dfrac{mv}{1-\dfrac{v^2}{c^2}} \,.$$

Por lo tanto, claramente, $p_{0} \neq p_{1}$.

Answer 1

Vamos a considerar el marco en el que, inicialmente, las masas están en reposo a ser el marco de $O$. En el marco de la $O,$ conservación del momento es trivialmente seguido debido a la simetría del problema. Para la conservación de la energía, se requiere que $M = m \sqrt{1-v^2}$ donde $m$ es la inicial de reposo de la masa de cada una de las partículas y $M$ es el último resto de la masa de cada una de las partículas.

Ahora, vamos a observar la situación desde el punto de vista de un observador $O'$ que se mueve con una velocidad de $v$ positiva en la $x$ dirección. En este marco, el impulso inicial es

$$p_i = -\dfrac{2mv}{\sqrt{1-v^2}}$$

y el final con el impulso

$$p_f = \dfrac{M\bigg(\dfrac{-2v}{1+v^2}\bigg)}{\sqrt{1-\bigg(\dfrac{-2v}{1+v^2}\bigg)^2}} = -\dfrac{2Mv}{1-v^2} = -\dfrac{2mv}{\sqrt{1-v^2}}$$ si $M=m\sqrt{1-v^2}$, lo cual es consistente con lo que hemos derivado de la conservación de energía en $O$.

Para $O'$, la energía inicial es

$$E_i = \dfrac{2m}{\sqrt{1-v^2}}$$

y la energía final es

$$E_f = \dfrac{M}{\sqrt{1-\bigg(\dfrac{-2v}{1+v^2}\bigg)^2}} + M = \dfrac{2M}{1-v^2} = \dfrac{2m}{\sqrt{1-v^2}}$$ para $M=m\sqrt{1-v^2}$, en tanto que es consistente con todas las consideraciones anteriores.

Así, teniendo en cuenta el cambio en el resto de la masa de las partículas debido a los cambios en su estructura durante la combustión (o cualquier proceso que se acelera) podemos ver que, tanto en los marcos, tanto de la energía y el impulso de leyes de conservación puede ser mantenido.