La completitud asintótica es una fuerte limitación de las teorías de campo cuántico que descarta los campos libres generalizados, que por lo demás satisfacen los axiomas de Wightman. Si tomáramos un límite de una lista de distribuciones de masa continuas $ \rho_n (k^2)$ que se aproxima a una distribución en algún sentido topológico, sin embargo, ¿hay en alguna parte un análisis de cómo el comportamiento de la $ \rho_n (k^2)$ se acercaría al comportamiento del campo libre?
La siguiente afirmación parece demasiado calva (del estudio "Outline of axiomatic relativistic quantum field theory" de R F Streater, Rep. Prog. Phys. 38, 771-846 (1975)): "Si la función de peso de Källén-Lehmann es continua, no hay partículas asociadas al correspondiente campo libre generalizado; la interpretación en términos de partículas inestables no es adecuada". Seguramente, al tomar el apoyo de un campo libre invariante generalizado de Lorentz como arbitrariamente pequeño, podríamos esperar que el comportamiento, al menos tal como se caracteriza por las VEV, que constituyen el conocimiento completo de un campo de Wightman, sería finalmente arbitrariamente cercano al comportamiento que esperaríamos de un campo libre?
La termodinámica clásica tiene una relación complicada con el infinito, en el sentido de que el comportamiento analítico de las transiciones de fase no surge a menos que tomemos un número infinito de partículas, pero el comportamiento de un número muy grande de partículas, sin embargo, puede aproximarse bastante bien al comportamiento termodinámico. Por esta analogía elemental, parece prematuro descartar los campos libres generalizados.
También parece revelador, aunque débilmente, que la función de peso de Källén-Lehmann de un campo que interactúa no es trivial en los enfoques de las cuasipartículas.
Para poder derivar una matriz S se requiere que una teoría sea asintóticamente completa, sin embargo las mediciones reales siempre están en una separación temporal finita como la de las preparaciones de estado, con la interacción presumiblemente no desactivada adiabáticamente en los momentos de la preparación y la medición, de modo que algo menos que la completitud asintótica analíticamente perfecta debería ser adecuado.
Para hacer esto más concreto, el componente imaginario de la masa $1$ propagador en el espacio real en una separación temporal es $I(t)= \frac {J_1(t)}{8 \pi t}$ . Si tomamos una distribución de masa de peso unitario suave $$w_ \beta (m)= \frac { \exp (- \frac { \beta }{m}- \beta m)}{2m^2K_1(2 \beta )}\ \mathrm {for}\ m>0,\ \mathrm {zero\ for}\ m \le 0,$$ para los grandes $ \beta $ esta función de peso se concentra cerca de $m=1$ con un valor máximo $ \sqrt { \frac { \beta }{ \pi }}$ . Para esta función de peso, el componente imaginario del propagador en el espacio real en la separación temporal es (usando Gradshteyn&Ryzhik 6.635.3) $$I_ \beta (t)= \int\limits_0 ^ \infty w_ \beta (m) \frac {mJ_1(mt)}{8 \pi t} \mathrm {d}m= \frac {J_1 \left ( \sqrt {2 \beta ( \sqrt { \beta ^2+t^2}- \beta )} \right ) K_1 \left ( \sqrt {2 \beta ( \sqrt { \beta ^2+t^2}+ \beta )} \right )}{8 \pi tK_1(2 \beta )}.$$ Asintóticamente, esta expresión disminuye más rápido que cualquier polinomio para grandes $t$ (porque la función de peso es suave), que es completamente diferente del comportamiento asintótico de $I(t)$ , $- \frac { \cos (t+ \pi /4)}{4 \sqrt {2 \pi ^3t^3}}$ sin embargo, al elegir $ \beta $ muy grande, podemos asegurar que $I_ \beta (t)$ está cerca de $I(t)$ a una gran separación temporal que es aproximadamente proporcional a $ \sqrt { \beta }$ . Gráficos $I(t)$ y $I_ \beta (t)$ cerca de $t=1000$ por ejemplo, y para $ \beta =2^{20},2^{21},2^{22},2^{23},2^{24}$ obtenemos 
$I(t)$ y $I_ \beta (t)$ están muy cerca de la fase, como se ve aquí, hasta que $t$ es del orden de $ \beta ^{2/3}$ en unidades de longitud de onda. Podemos tomar $ \beta $ de tal manera que esta aproximación es muy cercana a los miles de millones de años (para lo cual, tomando una masa inversa de $10^{-15}m$ , $ \sqrt { \beta } \approx \frac {10^{25}m}{10^{-15}m}=10^{40}$ ), o a la distancia que sea necesaria para no entrar en conflicto con el experimento (tal vez más o menos de $10^{40}$ ). Por supuesto, esto está muy bien afinado, sin embargo algo del orden de la edad del universo parecería necesario para lo que es esencialmente un parámetro de estabilidad, y la alternativa es tomar la notablemente idealizada elección de distribución-equivalente $ \beta = \infty $ como siempre. ~~ [Me gustaría poder dar el componente real del propagador en separaciones temporales y espaciales para esta función de peso, sin embargo Gradshteyn&Ryzhik no ofrece las integrales necesarias, y tampoco lo hace mi versión de Maple].~~
EDIT(2): Resulta que transformando Gradshteyn&Ryzhik 6.653.2 obtenemos $$R_ \beta (r)\!=\! \int\limits_0 ^ \infty\ !\!w_ \beta (m) \frac {mK_1(mr)}{4 \pi ^2 r} \mathrm {d}m= \frac {K_1 \left (\! \sqrt {2 \beta ( \beta - \sqrt { \beta ^2-r^2})} \right ) K_1 \left (\! \sqrt {2 \beta ( \beta + \sqrt { \beta ^2-r^2})} \right )}{4 \pi ^2 rK_1(2 \beta )},$$ que es real valorado por $r> \beta $ . En cuanto a $I_ \beta (t)$ la aproximación a la masa $1$ propagador en la separación espacial $r$ , $R(r)= \frac {K_1(r)}{4 \pi ^2 r}$ está cerca de $r$ menos de aproximadamente $ \sqrt { \beta }$ . Para el componente real en la separación temporal, es casi seguro que uno simplemente reemplaza la función de Bessel $J_1(...)$ por $Y_1(...)$ .
