Prueba de equivalencia de funciones de espacio de Sobolev y Lipschitz

Question

El archivo adjunto es una prueba de Evans libro "Teoría de la Medida y la Multa Propiedades de las Funciones de" pg 132 Teorema 5. El enunciado del teorema es:

Deje $f:U \rightarrow \mathbb{R}$. A continuación, $f$ es localmente Lipschitz en $U$ si y sólo si $f \in W^{1,\infty}_{loc}(U)$. Mis dos preguntas son sólo con respecto a la primera dirección($\Rightarrow$) del teorema.

1. Podemos obtener la secuencia de $g_{i}^{h_{j}} \rightharpoonup g_{i}$ débilmente en $L^{p}_{loc}(U)$ donde $g_{i} \in L_{loc}^{\infty}(U)$ observando: Desde $(g_{i}^{h_{j}})_{j}$ está delimitado en $L^{\infty}_{loc}(U)$ podemos encontrar una débil* convergente larga tal que $g_{i}^{h_{j}} \rightharpoonup g_{i}$ $L^{\infty}_{loc}(U)$ y, a continuación, utilizar Theroem 3 en la sección 1.9 (de la cual los estados: desde $g_{i}^{h_{j}}$ está delimitado en $L^{\infty}_{loc}(U)$ existe una larga que converge débilmente en $L^{p}_{loc}(U)$) para obtener una más larga (que voy a llamar nuevamente a $g_{i}^{h_{j}}$) tal que $g_{i}^{h_{j}} \rightharpoonup v$ débilmente en $L^{p}_{loc}(U)$, por la singularidad de los límites obtenemos $v = g_{i}$. ¿Este razonamiento trabajo? Hay una forma más simple para mostrar esto?

2. Para obtener el resultado que $\lim\limits_{j \rightarrow \infty}\int_{U}f(x)\frac{\varphi(x+h_{j}e_{i})-\varphi(x)}{h_{j}}dx = \int_{U}f(x)\frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}dx$ al final, puedo usar el Lebesgue Teorema de Convergencia Dominada de donde me dominan $f(x)\frac{\varphi(x+h_{j}e_{i})-\varphi(x)}{h_{j}}$. Desde $\varphi \in C_{c}^{1}(V)$ es continua en un conjunto compacto es limitado, por lo $\frac{\varphi(x+h_{j}e_{i})-\varphi(x)}{h_{j}} \leq C $ para algunas constantes $C > 0$. Pero desde $V$ está delimitado llegamos $\int_{V}Cdx \leq C\int_{V}dx = C|V| < +\infty$. A continuación, $g := MC$ se convierte en el summable función que domina , donde $M := \Vert f \Vert_{L^{\infty}_{loc}(U)}$. ¿Este razonamiento trabajo? Hay una forma más simple para mostrar esto?

Por favor, hágamelo saber de dónde me salió mal la primera antes de mostrar el correcto razonamiento.

Gracias por cualquier ayuda. Déjeme saber si algo no está claro.

Answer 1

1. Me parece que el argumento está muy bien. La idea clave aquí es que el $L^p(U)$ continuamente está incrustado en $L^q(U)$ $p\ge q$ ($U$ limitada). Observe también que sólo tenemos, por ejemplo, que $g_i^{h_i}$ tiene un subsequence cual débil convergen en $L^2(U)$.

2. Estoy de acuerdo con este argumento, sin embargo, no terminó lo. ¿Cuál es la función en $L^1(U)$ que domina $\varphi_i^{h_j}$?