Límite función multivariable

Question

¿Cómo abordar esto: $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y}$?

Sido capaces de moler $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y^2}$, es in(link) finlandés, pero fórmulas y la idea deben ser evidente. Sin embargo me confunde a $\dot +y$ $\dots+y^2$ en el divisor.

¿O estoy pensando en una dirección totalmente equivocada?

Answer 1

Primero de todos, usted necesita considerar su espacio restringido a $\mathbb{R}^2 - \{(x,y):x^2+y=0\}$. De lo contrario, usted no puede formar una vecindad del origen, donde la función está definida.

Incluso entonces, considerar las trayectorias $x=0$$x^2=y^2-y$: $$\lim_{x=0,y\to 0} \frac{x^2 y}{x^2+y} = \lim_{y\to 0} \frac{0}{y}=0$$

$$\lim_{x^2=y^2-y,y\to 0} \frac{x^2 y}{x^2+y} = \lim_{y\to 0} \frac{y^3-y^2}{y^2}=-1$$

Ya que el límite es diferente a lo largo de las dos trayectorias, entonces el límite no existe.

La moral es: es complicado y requiere de cierta experiencia para encontrar la mejor trayectoria, pero al menos usted necesita tener la intuición de que el límite no existe. Un útil la observación es la presencia de extraños poderes.

Answer 2

$f(x,y)=\frac{x^2y}{x^2+y}$

Supongamos que el límite existe y es finito. Entonces, tomemos $\epsilon > 0$. Hay $\delta > 0$ así que $|\frac{x^2y}{x^2+y} - L|<\epsilon$ % todo $x,y$que $x^2 + y^2 < \delta ^2$.

Consideremos $x_n= \frac{1}{\sqrt n}, y_n= -\frac{1}{n + 1}$. Hay N que $x_n^2 + y_n^2<\delta^2, \forall n > N$. Tenemos $f(x_n,y_n)=-1$.

Así $|-1 - L| < \epsilon$ % arbitrario $\epsilon$, por lo tanto $L = -1$.

Consideremos ahora, $x_n= \frac{1}{\sqrt n}, y_n= -\frac{1}{n + 2}$. Siguiendo los mismos pasos que el anterior, conseguimos $L = -\frac{1}{2}$.

Está comprobado que no hay ningún límite finito. Similares para el límite de infinito

Answer 3

Aquí le damos otro enfoque $$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y}$ $ usando coordenadas polares, tenemos $$\lim\limits_{r\to 0^+}\frac{r^2\cos^2\phi\sin\phi}{r\cos^2\phi+\sin\phi}$ $ ahora intenta encontrar límites que son independientes de la $\phi$ % es dependiente en $$\frac{r^2\left|\cos^2\phi\sin\phi\right|}{\left|r\cos^2\phi+\sin\phi\right|}\leq\frac{r^2}{\left|r\cos^2\phi+\sin\phi\right|}$ $\phi$$desde este límite, podemos concluir que %#% $#%