Esta es una pregunta muy bonita. Efectivamente, hay una forma sencilla de ver que una teoría no abeliana tendrá un alcance más corto que una abeliana.
La acción de una teoría gauge, contiene genéricamente términos de la forma $ Tr[F F] $ o $ Tr[F \star F] $ , donde $ F $ es la curvatura o intensidad de campo de la conexión gauge. Para una conexión abeliana $A_\mu$ la intensidad del campo es de la forma
$$ F_{\mu\nu} = \partial_{[\mu}A_{\nu]} $$
donde el $ [ \dots ] $ representa la antisimetrización sobre los índices dentro de los paréntesis.
En consecuencia, el $F^2$ Los términos de tipo en la acción son de la forma
$$ F^2 \sim (\partial A) (\partial A) $$
Para una conexión no abeliana $A_\mu^I$ , donde $I$ es ahora un índice en el álgebra de mentira de algún grupo no abeliano, tenemos:
$$ F^I_{\mu\nu} = \partial_{[\mu}A^I_{\nu]} + f^I_{JK}[A^J_\mu,A^K_\nu] $$
donde $ f_{IJK} $ son los constantes de estructura del grupo en cuestión.
En consecuencia, el $ \mathcal{O}(F^2) $ en la acción contienen ahora términos de la forma
$$ (\partial A) A^2 \textrm{ and } A^4 $$
Se trata de términos de autointeracción que, en general, dotarán a la conexión $A^I_\mu$ con una masa - en una fase adecuada de ruptura de simetría de la teoría. Y una partícula gauge masiva conduce a interacciones de corto alcance (y/o de confinamiento).
Eso es lo esencial. Es probable que haya otras formas de abordar el problema, pero ésta es la que conozco mejor.
En respuesta a algunos comentarios, me gustaría citar la siguiente línea de los Jaffe-Witten papel introduciendo el problema de Yang-Mills como parte del premio Clay de matemáticas:
" ... Una visión de la brecha de masa en la teoría de Yang-Mills sugiere que podría surgir del potencial cuártico $(A \wedge A)^2$ en la acción, donde $ F = dA + g A \wedge A $ , véase [11], y puede estar ligado a la curvatura en el espacio de conexiones, ver [44].
La referencia [11] citada en la línea anterior es una papel de Feynman donde estudia la teoría gauge SU(2) en 2+1 dimensiones y concluye que la invariancia gauge dicta la presencia de una brecha de masa.
Se puede discutir sobre los puntos fijos y las fases y demás a diferentes temperaturas. Pero a menos que tengas algo que supere a Jaffe, Witten y Feynman, supongo que es seguro concluir que la conjetura intuitiva de @robert de que la naturaleza no lineal de la teoría gauge no abeliana es responsable de su carácter de corto alcance/masivo/confinado es justo el objetivo.
