Calificación matemática de Stanford: Grupos abelianos $G$ satisfaciendo $0\to \Bbb{Z} \oplus \Bbb{Z}/3\Bbb{Z} \to G \to \Bbb{Z} \oplus \Bbb{Z}/3\Bbb{Z} \to 0$

Question

Estoy estudiando para mis exámenes de calificación y me encontré con la siguiente pregunta:

Encontrar todos los grupos abelianos $G$ que encajan en una secuencia exacta $0\to \Bbb{Z} \oplus \Bbb{Z}/3\Bbb{Z} \to G \to \Bbb{Z} \oplus \Bbb{Z}/3\Bbb{Z} \to 0$ .

De otra pregunta en este sitio, sé que puedo hacer un diagrama de la forma

$$\require{AMScd} \begin{CD} 0 @>>> \mathbb{Z}^2 @>>> \mathbb{Z}^4 @>>> \mathbb{Z}^2 @>>> 0 \\ @. @VVV @VVV @VV V @. \\ 0 @>>> \mathbb{Z} \oplus \Bbb{Z}/3\Bbb{Z} @>>> G @>>> \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} @>>> 0. \end{CD} $$ Llamemos a los tres mapas verticales, de izquierda a derecha respectivamente $f$ , $g$ y $h$ . Por el Lemma de la Serpiente, puedo extender el diagrama anterior a uno que se parezca a

\begin{CD} @. 0 @>>>0 @>>>0 @. \\ @. @VVV @VVV @VV V @. \\ 0 @>>> \ker f @>>> \ker g @>>> \ker h @>>> 0 \\ @. @VVV @VVV @VV V @. \\ 0 @>>> \mathbb{Z}^2 @>>> \mathbb{Z}^4 @>>> \mathbb{Z}^2 @>>> 0 \\ @. @VVV @VVV @VV V @. \\ 0 @>>> \mathbb{Z} \oplus \Bbb{Z}/3\Bbb{Z} @>>> G @>>> \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}3\mathbb{Z} @>>> 0\\ @. @VVV @VVV @VV V @. \\ @. 0 @>>>0 @>>>0 @. \\ \end{CD}

Pregunta 1: Desde $\ker f = \ker h = \Bbb{Z}$ y $\Bbb{Z}$ es proyectiva sé que la fila superior no nula se divide, y así $\ker g \cong \Bbb{Z}^2$ . Puedo decir que $\ker f \hookrightarrow \ker g$ es la inclusión en el primer factor, y $\ker g\to \ker h$ es la proyección sobre el segundo?

Si esto es cierto, entonces puedo presentar $G$ como el cokernel de la matriz de relaciones

$$\left(\begin{array}{cc} 0 & a \\ 3 & b \\ 0 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}\right)$$ para algunos enteros $a,b\in\Bbb{Z}.$ Esto proviene del análisis de las casillas superiores de la derecha y de la izquierda y, por supuesto, de la suposición de que la pregunta 1 es verdadera.

Pregunta 2: ¿Cómo puedo simplificar esta matriz para que me dé una buena información sobre lo que $G$ ¿debería ser?

Editar 1: A partir del enunciado del lema de división en la página 147 de Hatcher Parece que básicamente puedo arreglar para que lo que quiero en la pregunta 1 sea cierto.

Answer 1

Tenga en cuenta que $G$ está generada finitamente. En general, este tipo de problema se puede resolver mediante el siguiente procedimiento:

1. Encuentra el rango libre. Desde $\mathbb{Q}$ es plana sobre $\mathbb{Z}$ podemos tensor con $\mathbb{Q}$ para obtener una secuencia exacta $$ 0 \;\to\; \mathbb{Q} \;\to\; G\otimes \mathbb{Q} \;\to\; \mathbb{Q} \;\to\; 0. $$ De ello se desprende que $G\otimes\mathbb{Q} \cong \mathbb{Q}^2$ Así que $G$ tiene rango libre $2$ . Es decir, $G\cong \mathbb{Z}^2 \oplus A$ , donde $A$ es un grupo de torsión abeliano finitamente generado.

2. Encuentra el número de factores asociados a cada primo. Puedes obtener límites en el número de factores asociados a cada primo utilizando los funtores $\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/p,-)$ y $- \otimes \mathbb{Z}/p$ . En este caso, aplicando $\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/p,-)$ para $p\ne 3$ da una secuencia exacta $$ 0 \;\to\; 0 \;\to\; \mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/p,G) \;\to\; 0. $$ Entonces $\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/p,G) = 0$ para $p\ne 3$ por lo que todos los factores de torsión para $G$ se asocian al primo $3$ . Podríamos aplicar el functor $\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/3,-)$ para demostrar que hay uno o dos de esos factores, pero en este caso es más rápido pasar al siguiente paso.

3. Encuentra los posibles tamaños de cada factor. Se trata de aplicar funtores de la forma $\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/p^n,-)$ para $n\geq 2$ teniendo en cuenta que $$ \mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/p^n, E\oplus F) \;\cong\; \mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/p^n, E) \oplus \mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/p^n, F) $$ y $$ \mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/p^n, \mathbb{Z}/p^m) \cong \mathbb{Z}/p^{\min(m,n)}. $$ En este caso, aplicando el functor $\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/27,-)$ da una secuencia exacta $$ 0 \;\to\; \mathbb{Z}/3 \;\to\; \mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/27,G) \;\to\; \mathbb{Z}/3. $$ Entonces $\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/27,G)$ es $\mathbb{Z}/3$ , $\mathbb{Z}/3\oplus\mathbb{Z}/3$ o $\mathbb{Z}/9$ . De ello se desprende que $G$ es uno de $$ \mathbb{Z}^2 \oplus \mathbb{Z}/3,\qquad \mathbb{Z}^2\oplus (\mathbb{Z}/3)^2,\qquad \mathbb{Z}^2 \oplus \mathbb{Z}/9. $$ Es fácil comprobar que las tres cosas son posibles. En particular, las secuencias $$ 0 \;\to\; \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/3 \;\xrightarrow{\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 3 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}}\; \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/3 \;\xrightarrow{\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}}\; \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/3 \;\to\; 0 $$ y $$ 0 \;\to\; \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/3 \;\xrightarrow{\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}}\; \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/3 \oplus \mathbb{Z}/3 \;\xrightarrow{\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}}\; \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/3 \;\to\; 0 $$ y $$ 0 \;\to\; \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/3 \;\xrightarrow{\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}}\; \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/9 \;\xrightarrow{\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}}\; \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/3 \;\to\; 0 $$ son todos exactos.

Answer 2

Las respuestas de Jim y Pedro están, por supuesto, bien. Estoy tratando de hacer el cálculo en base a la idea con la que empezaste.

Pregunta 1. Sí, se puede asumir que el primer mapeo es la inclusión al primer sumando y el segundo es la proyección sobre el segundo. Esto es básicamente lo que significa la división. Si $$0\to A'\xrightarrow{f} A\xrightarrow{g}A''\to0$$ es una secuencia exacta corta dividida, entonces $A=\operatorname{im}f\oplus\operatorname{im}s$ , donde $s$ es el homomorfismo de división.

Sin embargo, no estoy seguro de que tengas la idea correcta sobre el conjunto de posibles homomorfismos en la columna central de $\operatorname{ker}g\to\Bbb{Z}^4$ . Para remediarlo, permítanme describir lo siguiente

Lema/Observación. Supongamos que tenemos un diagrama conmutativo con filas exactas cortas divididas. $$\require{AMScd} \begin{CD} 0 @>>> P_1' @>>> P_1 @>>> P_1'' @>>> 0 \\ @. @VVV @VVV @VV V @. \\ 0 @>>> P_0' @>>> P_0 @>>> P_0'' @>>> 0. \end{CD} $$ Supongamos que la asignación de la columna izquierda es $f':P_1'\to P_0'$ y que el mapeo de la columna derecha es $f'':P_1''\to P_0''$ . Después de identificar los módulos del centro como sumas directas de los de los lados, el mapeo de la columna central debe ser entonces de la forma $$ f(x',x'')=(f'(x')+g(x''),f''(x'')), $$ donde $g:P_1''\to P_0'$ es un homomorfismo arbitrario.

Esbozo de una prueba. La conmutatividad del cuadrado de la izquierda implica que para todo $x'\in P_1'$ tenemos $f(x',0)=f\circ i_1 (x')=i_2\circ f'(x')=(f'(x'),0)$ . Del mismo modo, la conmutatividad del cuadrado de la derecha da como resultado que $f(0,x'')=(y,f''(x''))$ pero deja el componente $y$ indeterminado, porque eso se aniquila en la proyección $P_0\to P_0''$ no importa lo que sea. El reclamo es el siguiente.

Así que como $2\times2$ matriz el mapeo de la columna central parece (actuando desde la izquierda sobre el vector columna $(x',x'')^T$ ) $\pmatrix{f'&g\cr 0&f''\cr}$ . El grado de libertad que se nos da en la elección de $g$ es crucial en la construcción de la teoría. Puede que lo hayas visto explotado en la demostración de secuencias exactas largas de homología, porque es necesario en la construcción de resoluciones proyectivas "compatibles" para módulos en una secuencia exacta corta (que lleva a una secuencia exacta corta de complejos de cadena, etc.).

De todos modos, esto nos dice que las opciones para su mapeo de teclas $\ker g\cong\Bbb{Z}^2\to\Bbb{Z}^4$ en la columna central están dadas por matrices de la forma (de nuevo actuando desde la izquierda) $$ M=\left(\begin{array}{cc}0&a\\3&b\\0&0\\0&3\end{array}\right). $$

Pregunta 2. ¿Cómo se obtiene el cociente de esto? Recordarás que la estructura de un cociente de dos módulos libres $F_1/F_2$ sobre un PID (aquí $\Bbb{Z}$ ) se calcula utilizando el llamado bases apiladas teorema (Así se llamaban cuando yo estaba en la escuela de posgrado. Recuerdo que he visto a algunas personas en nuestro sitio referirse a ellos como bases alineadas ). Puede encontrar una base de $F_1$ , digamos que $f_1,f_2,\ldots,f_n$ y los coeficientes (también conocidos como factores invariantes ) $d_1\mid d_2\mid \cdots\mid d_n$ tal que $d_if_i,i=1,2,\ldots,n$ forman una base de $F_2$ . Además, los factores invariantes pueden calcularse a partir de la forma normal de Smith de una matriz que relaciona cualquier bases de $F_1$ y $F_2$ .

Así que en nuestro caso vamos a poner la matriz $M$ en la forma normal de Smith, y comprobar qué alternativas hay. Sin duda también recuerdas cómo se pueden obtener los factores invariantes a partir de los GCDs de las $k\times k$ menores de esa matriz.

Hagamos un balance. El GCD de $1\times1$ menores de $M$ es $$ g_1=\gcd(3,a,b). $$ El GCD de $2\times2$ menores de $N$ es $$ g_2=\gcd(9,3a). $$ No hay menores mayores (o desaparecen, si prefiere etiquetar dos columnas todo cero a $M$ y pensar en ello de esa manera). La relación con los factores invariantes es (hasta un multiplicador unitario) $$ d_1=g_1,\qquad d_1d_2=g_2,\qquad d_1d_2d_3=g_3,\ldots. $$

Tenemos los siguientes casos

1. $g_1=1$ , $g_2=3$ . Esto ocurre siempre que $3\nmid a$ . Esto lleva a $d_1=1,d_2=3$ y $$G\cong (\Bbb{Z}/3\Bbb{Z})\oplus\Bbb{Z}^2.$$
2. $g_1=1$ , $g_2=9$ . Esto ocurre siempre que $3\mid a$ y $3\nmid b$ . Esto da como resultado $d_1=1,d_2=9$ y $$G\cong (\Bbb{Z}/9\Bbb{Z})\oplus\Bbb{Z}^2.$$
3. $g_1=3$ , $g_2=9$ . Esto ocurre siempre que $3\mid a,b$ . En este caso tenemos $d_1=d_2=3$ y $$G\cong (\Bbb{Z}/3\Bbb{Z})\oplus (\Bbb{Z}/3\Bbb{Z})\oplus\Bbb{Z}^2.$$

Answer 3

Está claro que $G$ está generada finitamente y, como se ha señalado anteriormente, tiene un rango libre de dos. Basta con determinar qué $\tau(G)$ (la parte de torsión de $G$ ) puede ser. Ahora $\tau(G)={\rm Tor}(G,\Bbb Q/\Bbb Z)$ que es exacta a la izquierda por lo que obtenemos una secuencia exacta $$0\longrightarrow \Bbb Z_3\longrightarrow \tau(G)\stackrel{f}\longrightarrow \Bbb Z_3\stackrel{g}\longrightarrow \Bbb Q/\Bbb Z\longrightarrow (\Bbb Q/\Bbb Z)^2\longrightarrow \Bbb Q/\Bbb Z\longrightarrow 0 $$

ya que la parte de torsión de cualquier grupo muere al tensar con el grupo divisible $\Bbb Q/\Bbb Z$ y la parte libre aporta tantos ejemplares como su rango.

Desde $\Bbb Z_3$ es simple, truncando esto (es decir, insertando ${\rm im}(f)\longrightarrow 0$ al final) significa $\tau(G)$ se ajusta a una secuencia exacta de la forma $$0\longrightarrow \Bbb Z_3 \longrightarrow \tau (G) \longrightarrow 0$$ o $$ 0 \longrightarrow \Bbb Z_3 \longrightarrow \tau(G) \longrightarrow \Bbb Z_3 \longrightarrow 0$$

que da $\tau(G)$ o bien $\Bbb Z_3,\Bbb Z_9, \Bbb Z_3^2$ .