Teoría del número y pregunta de probabilidad

Question

Calcular la probabilidad que un divisor positivo elegido al azar de $10^{99}$ es un entero múltiplo de $10^{88}$

Answer 1

Elegir un divisor positivo al azar de $10^{99}$ es equivalente a elegir dos números enteros al azar $0 \leq a, b \leq 99$ (el divisor correspondiente es $2^a\cdot 5^b$). Múltiplos de $10^{88}$ son de la forma $2^x 5^y$ donde $x,y \geq 88$. Así que tenemos que encontrar la probabilidad de que $a,b \geq 88$. Hay valores posibles de $100$ $a$ y $b$ $12$ de estos enteros son y por lo menos 88 y 99 en la mayoría. Por lo tanto, la probabilidad deseada es $(12/100)^2 = 9/625$.

Answer 2

Tenemos que $10^{99} = 2^{99}\cdot 5^{99}$, donde ambos $2$ y $5$ prime, divisor al azar es equivalente a la elección al azar de dos números, decir $\alpha$ y $\beta$, cada uno desde $\{0,1,\ldots 99\}$, es decir, $d = 2^\alpha\cdot 5^\beta$. Para este divisor al azar ser múltiples de $10^{88}$ necesitamos que $\alpha, \beta \in \{88,89,\ldots, 99\}$. Con esta restricción $\alpha$ y $\beta$ puede ser recogido en $99+1-88 = 12$ maneras y hay $100^2$ divisiors diferentes, por lo que la probabilidad de que se trate igual a $$\frac{12^2}{100^2} = 0.0144$ $

Answer 3

Si $n$ es un número natural y $d$ un divisor de $n$ hay un bijection entre los divisores de $n/d$ y los divisores de $n$ que son múltiplos de $d$ (la biyección es dado por la multiplicación/división $d$). Así son los divisores de $\tau(n/d)$ $n$ que son múltiplos de $d$ donde $\tau$ denota "número de divisores". Es el cociente de divisores de $n$ que son múltiplos de $d$ $\frac{\tau(n)}{\tau(n/d)}$. En el caso especial donde $n = 10^{99}$ y $d = 10^{88}$ esto da %#% $ #%