La existencia de un conjunto especial de p+2 puntos en el finito afín avión $\mathbb F_q$

Question

Estoy trabajando en lo finito afín avión$\mathbb F_q$$q=2^n$. Un avión ha $q^2$, $q^2+q$ líneas, cada línea tiene $q$ puntos, y por un punto pasa a $q+1$ líneas. Hay $q+1$ direcciones y $q$ líneas en cada dirección.

He aquí un dibujo del plano de $q=4$ con las 5 líneas pasando a través del punto de $(0,0)$. Usamos ese $\mathbb F_4=\{0,1,x,x^2\}$ y $x^2=x+1$ para el cálculo. (No toma el cuidado de la primera coordenada...)

Me gustaría saber si existe un conjunto de $q+2$ $\{P_1,...,P_{q+2}\}$ tal forma que :

• No hay tres de ellos están en la misma línea

• Hay 2 por 2 es igual a el mismo vector, es decir, $\overrightarrow{P_iP_{i+1}}=\overrightarrow{P_1P_2}$ para cualquier extraño $i$.

Sé que la respuesta es no para $q=4$. De hecho, si es que tal existe, puede, sin pérdida de generalidad supongamos que $P_1=(0,0)$, $P_2=(0,1)$, $P_3=(1,0)$ y $P_4=(1,1)$. Pero entonces todos los otros puntos están en una cierta línea $(P_iP_j)$.

Yo creo (y sería feliz) que un conjunto no existe, pero yo no puedo probar. Si no existe, ¿cuál es el número máximo de puntos que puede tener con estas propiedades ?

Está vinculado a la hyperoval noción en el plano proyectivo : de hecho, si se agrega una "línea infinita" con $q+1$ puntos, cada uno de ellos correspondiente a una dirección y unirse a las líneas de la misma dirección que el punto correspondiente, se obtienen $PG(2,q)$. Un conjunto de $q+2$ puntos sin los tres puntos en la misma línea en $PG(2,q)$ es un hyperoval y existe, pero no sé si los puntos pueden ser de 2 por 2 es igual a el mismo vector...

Cualquier ayuda es bienvenida !

Answer 1

Usted dice que para $q=4$ la respuesta es no, pero no su dibujo muestra un ejemplo donde este es el caso? Los puntos verdes parecen tener esta propiedad... tu error es que no puede asumir W. L. O. G. que, por ejemplo,$P_4$$(1,1)$, sólo que $(1,1)$ es algún punto en el conjunto. Si el número de puntos de lexicográficamente tal como aparecen en el dibujo, su propiedad se cumple.

Si entiendo tu problema correctamente, la respuesta a tu pregunta es siempre sí. Se acaba de tomar un hyperoval en $PG(2,q)$, tomar una línea de $L$ que es distinto de él (que siempre existe) y considerar la posibilidad de que la línea de la línea en el infinito. Elige un punto arbitrario en el infinito y considerar las líneas a través de ella, cada línea se cruza con el hyperoval en 0 o 2 puntos. Esto le da un emparejamiento de punto, de modo que todos los vectores de estos pares son paralelas.