Supongamos que estamos trabajando en el intervalo $[a,b]$ tenemos que $f \in L^1 [a,b]$ . Sea $\gamma \in (0,1)$ . Entonces tenemos que
$$\int_a^uf(t)(u-t)^{1-\gamma}dt, u \in [a,b]$$
está bien definida. Porque $(u-t)^{1-\gamma}$ es continua en $[a,u]$ , y, por tanto, acotado.
Un libro que estoy leyendo lo afirma:
$$\frac{d}{du }\int_a^uf(t)(u-t)^{1-\gamma}dt=(1-\gamma)\int_a^uf(t)(u-t)^{-\gamma}dt.$$
Pero, ¿por qué es así? He intentado utilizar el regla integral de leibniz . Pero por lo que veo no puedo usarlo porque el derivado $(u-t)^{-\gamma}$ no se comporta bien cuando $t=u$ .
Otro problema que tengo es que por Fubini/Tonelli podemos tener esa $(1-\gamma)\int_a^uf(t)(u-t)^{-\gamma}dt$ está bien definida sólo a.e. en $[a,b]$ ? ¿Pero ves cómo podemos demostrar esa identidad si $(1-\gamma)\int_a^uf(t)(u-t)^{-\gamma}dt$ ¿está bien definido?
He intentado escribir la definición de la derivada, y luego tomar límites, etc. Pero no consigo que la fracción esté acotada(para poder utilizar el teorema de convergencia dominada), porque $(u-t)^{-\gamma}$ no está acotado. Si se supone que lo resuelvo usando esto obtengo:
$\frac{\int_a^{u+\Delta u}f(t)(u+\Delta u-t)^{1-\gamma}dt-\int_a^{u}f(t)(u-t)^{1-\gamma}dt}{\Delta u}=\int_a^u\frac{f(t)[(u+\Delta u-t)^{1-\gamma}-(u-t)^{1-\gamma}]dt}{\Delta u}+\int_u^{u+\Delta u}\frac{f(t)(u+\Delta u-t)^{1-\gamma}dt}{\Delta u}.$
¿Ves lo que pasa con los últimos términos cuando $\Delta u$ ¿llega a cero? (Si lo que he escrito al principio es correcto, se supone que el último término va a cero. Y en el penúltimo término se supone que podemos escribir la derivada en su interior, pero ¿cómo argumento esto utilizando el SES)?
RESPUESTA
Para los que estén interesados creo que he encontrado la respuesta. El libro que estaba leyendo era un libro con artículos, y creo que el artículo en el que se basa mi pregunta estaba mal escrito. Miré la fuente del artículo y me pareció mejor. Primero hay que tener en cuenta si podemos demostrar que
$\int_a^u f(t)(u-t)^{1-\gamma}dt=(1-\gamma)\int_a^u[\int_a^t\frac{f(s)ds}{(t-s)^\gamma}]dt , H(t)=\int_a^t\frac{f(s)ds}{(t-s)^\gamma}\in L^1[a,b]$ hemos terminado, porque entonces el resultado se desprende del teorema fundamental del cálculo.
Primero demostramos que $H$ está bien definida, y simultáneamente mostrar que podemos usar Fubini para intercambiar límites.:
$\int_a^b\int_a^t\frac{|f(s)|ds}{(t-s)^\gamma}dt=\int_a^b \int_s^b|f(s)|(t-s)^{-\gamma} dtds=\int_a^b |f(s)|(b-s)^{1-\gamma} \cdot1/(1-\gamma)ds<\infty$ .
Y ahora el mismo cálculo con $u$ en lugar de b, y $f(s)$ en lugar de $|f(s)|$ nos dice que $\int_a^u f(t)(u-t)^{1-\gamma}dt=(1-\gamma)\int_a^u[\int_a^t\frac{f(s)ds}{(t-s)^\gamma}]dt$ .
