La comprobación de un Cierre de la Operación

Question

Estoy empezando a aprender algunos conceptos básicos de la topología, y he mayormente encontrado definiciones. Por ejemplo, he leído que para que un espacio topológico $X$, para cualquier $E\subseteq X$, definir su cierre $\overline{E}$ como el conjunto de puntos de $p\in X$ de manera tal que cada uno de los vecindarios $N$ $p$ tiene una intersección no vacía con $E$.

Quería comprobar que esto es de hecho un cierre de la operación, y he aquí lo que tengo:

(1) Supongamos $p\in E$, entonces para cualquier $N$, $p\in N$, por lo $N\cap E\neq\emptyset$, lo $p\in\overline{E}$, y por lo tanto $E\subseteq\overline{E}$.

(2) Supongamos $p\in\overline{E\cup F}$. A continuación, para cualquier $N$, $N\cap(E\cup F)\neq\emptyset$, por lo $(N\cap E)\cup(N\cap F)\neq\emptyset$, y por lo tanto, $N\cap E\neq\emptyset$ o $N\cap F\neq\emptyset$, lo $p\in\overline{E}$ o $p\in\overline{F}$, y por lo tanto $\overline{E\cup F}\subseteq\overline{E}\cup\overline{F}$.

(3) Para cualquier $p\in X$, la intersección de cualquier $N$ $\emptyset$ está vacía, así que no hay puntos de tal forma que cada barrio tiene intersección no vacía con $\emptyset$. Por lo tanto $\overline{\emptyset}=\emptyset$.

(4) estoy atascado mostrando que $\overline{\overline{E}}=\overline{E}$. A partir de (1), sé que $\overline{E}\subseteq\overline{\overline{E}}$, pero no puedo mostrar la otra contención. Tomé $p\in\overline{\overline{E}}$, y así todos los $N\cap\overline{E}\neq\emptyset$. Quiero mostrar a $p\in N\cap\overline{E}$, y creo que esto sería fácil si $X$ contiene puntos aislados. Pero luego me enteré de que existen tales cosas como perfecto o en conjuntos densos en sí misma, por lo que no puede trabajar. ¿Hay algún truco para mostrar esta contención?

Gracias, sé que esto es probablemente muy simple, pero yo voy un poco loco mirando.

Answer 1

De $N\cap\overline{E}\neq\emptyset$ usted saber que $N$ es un barrio de algún elemento de $\overline{E}$, y por lo tanto $N\cap E\neq\emptyset$ por su definición de la $\overline{E}$.

Answer 2

La prueba de (2) es incorrecta. Los cuantificadores están equivocados. Usted ha demostrado que, para cualquier $N$ (barrio de $x$, en el resto): $N$ intersecta $E$ o $N$ intersecta $F$. Pero usted tiene que demostrar (para cualquier $N$: $N$ cruza $E$) o por cualquier $N$, $N$ cruza $F$), es decir, que se cruzan en el mismo se establece para cualquier $N$. Así que usted tiene que argumentar por contradicción: supongamos $x \in \overline{E \cup F}$, pero $x \notin \overline{E}$ e $x \notin \overline{F}$. Los últimos 2 implica que hay un barrio de $N_1$ $x$ que falta a $E$ y un barrio de $N_2$ $x$ que falta a $F$. Pero, a continuación, $N_1 \cap N_2$ es un barrio de $x$ así y no se trata de eso $E \cup F$, contradiciendo ese $x \in \overline{E \cup F}$. Hecho.