Demostrando $x^n - y^n = (x-y)(x^{n-1} + x^{n-2} y + ... + x y^{n-2} + y^{n-1})$

Question

En Spivak del Cálculo de la 3ra Edición, hay un ejercicio para demostrar los siguientes:

$$x^n - y^n = (x-y)(x^{n-1} + x^{n-2} y + ... + x y^{n-2} + y^{n-1})$$

Me parece que no puede obtener la respuesta. Tampoco me ha ido mal en algún lugar, estoy con vistas a algo, o ambos. Aquí está mi (no) prueba:

$$\begin{align*} x^n - y^n &= (x - y)(x^{n-1} + x^{n-2}y +\cdots+ xy^{n-2} + y^{n-1}) \\ &= x \cdot x^{n-1} + x \cdot x^{n-2} \cdot y + \cdots + x \cdot x \cdot y^{n-2} + x \cdot y^{n-1}\\ &\qquad + (-y) \cdot x^{n-1} + (-y) \cdot x^{n-2} \cdot y + \cdots + (-y) \cdot x \cdot y^{n-2} + (-y) \cdot y^{n-1}\\ &= x^n + x^{n-1} y + \cdots + x^2 y^{n-2} + x y^{n-1} - x^{n-1}y - y^2 x^{n-2} - \cdots- x y^{n-1} - y^n \\ &= x^n + x^2 y^{n-2} - x^{n-2} y^2 - y^n \\ &\neq x^n - y^n \end{align*}$$

¿Hay algo que pueda hacer con $x^n + x^2 y^{n-2} - x^{n-2} y^2 - y^n$ que no estoy viendo, o hice un error desde el principio?

EDITAR:

Yo debería haber señaló que este ejercicio está destinado a ser hecho utilizando nueve de los doce propiedades básicas de los números que Spivak describe en su libro:

• Asociado de la ley para la adición
• La existencia de una identidad aditiva
• Existencia de inversos aditivos
• Conmutativa de la ley de adiciones
• Asociativa de la ley para la multiplicación
• La existencia de una identidad multiplicativa
• Existencia de inversos multiplicativos
• Conmutativa de la ley para la multiplicación
• Distibutive ley

Answer 1

Usted tiene todo el derecho, excepto en la última línea.

Tal vez es más fácil hacerlo en este orden:

$$(x−y)\left(x^{n−1}+x^{n−2}y+\cdots+xy^{n−2}+y^{n−1}\right)=\\ =x\cdot x^{n-1} y\cdot x^{n-1} +x\cdot x^{n−2}y- y\cdot x^{n−2}y+x\cdot x^{n−3}y^2-\cdots\\ \cdots -y\cdot x^2y^{n-3} +x\cdot xy^{n-2} y \cdot y^{n-1}$$

El segundo término $y\cdot x^{n-1}$ es el mismo que el tercer término $x\cdot x^{n−2}y$, salvo el signo, de modo similar, la 4ª y la 5ª términos se cancelan... Así que la única términos de la izquierda son: $x\cdot x^{n-1}$$y\cdot y^{n-1}$.

Answer 2

Creo que sería más fácil para usted para recordar

$$\left(1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}\right)(x-1) = x^n-1$$

y poner $x=\dfrac{b}{a}$

$$\eqalign{ & \left( {1 + \frac{b}{a} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} + \cdots + \frac{{{b^{n - 1}}}}{{{a^{n - 1}}}}} \right)\left( {\frac{b}{a} - 1} \right) = \frac{{{b^n}}}{{{a^n}}} - 1 \cr & \left( {1 + \frac{b}{a} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} + \cdots + \frac{{{b^{n - 1}}}}{{{a^{n - 1}}}}} \right)\left( {\frac{{b}}{a}} \right) = \frac{{{b^n} - {a^n}}}{{{a^n}}} \cr y {a^{n - 1}}\left( {1 + \frac{b}{a} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} + \cdots + \frac{{{b^{n - 1}}}}{{{a^{n - 1}}}}} \right)\left( {b} \right) = {b^n} - {a^n} \cr & \left( {{a^{n - 1}} + b{a^{n - 2}} + {b^2}{a^{n - 3}} + \cdots + {b^{n - 1}}} \right)\left( {b} \right) = {b^n} - {a^n} \cr} $$

Un poco "más ordenado", así que ya sabemos lo que pasa entre los puntos...

$$\eqalign{ & {x^n} - 1 = \left( {x - 1} \right)\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{x^k}} \cr & \frac{{{b^n}}}{{{a^n}}} - 1 = \left( {\frac{b}{a} - 1} \right)\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {\frac{{{b^k}}}{{{a^k}}}} \cr & \frac{{{b^n} - {a^n}}}{{{a^n}}} = \left( {\frac{{b}}{a}} \right)\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {\frac{{{b^k}}}{{{a^k}}}} \cr y {b^n} - {a^n} = \left( {b} \right)\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{b^k}{a^{n - k - 1}}} \cr} $$

Answer 3

Aquí está el paso inductivo, presentado de una manera más conceptual

$$\rm\frac{x^{n+1}-y^{n+1}}{x-y}\: =\ x^n\: +\ y\ \frac{x^n-y^n}{x-y}$$

Así que, intuitivamente, procediendo inductivamente de los rendimientos

$$\rm\:x^n + y\: (x^{n-1} + y\: (x^{n-2} +\:\cdots\:))\ =\ x^n + y\: x^{n-1} + y^2\: x^{n-2} + \:\cdots $$

El uso de esta intuición para componer una formales de la prueba por inducción.

Answer 4

Su método es el sonido, que usted acaba de hacer una especie de aritmética error. En caso de cancelar o de lo contrario, la combinación de dos secuencias, tratar explícitamente el forro de las cosas para asegurarse de que hacer lo correcto:

$$ \begin{align} x^n &+& x^{n-1} y &+& x^{n-2} y^2 &+& \cdots + x y^{n-1} & \\ &-& x^{n-1} y &-& x^{n-2} y^2 &+& \cdots - x y^{n-1} &+& y^n \end{align} $$

He encontrado que, cuando la taquigrafía comienza a volverse torpe y/o propenso al error, que es realmente útil para cambiar a la notación de sumatoria. Así, usted está tratando de demostrar

$$ x^n - y^n = (x-y) \sum_{k=0}^{n-1} x^k y^{n-1-k} $$

y la primera madre de su trabajo sería

$$ \cdots = \left( \sum_{k=0}^{n-1} x^{k+1} y^{n-1-k} \right) + \left( \sum_{k=0}^{n-1} x^{k} y^{n-k} \right)$$

y ahora, podemos cambiar el índice en la línea de las cosas: estoy sustituyendo k = j-1:

$$ \cdots = \left( \sum_{(j-1)=0}^{n-1} x^{(j-1)+1} y^{n-1-(j-1)} \right) + \left( \sum_{k=0}^{n-1} x^{k} y^{n-k} \right)$$ y la simplificación de

$$ \cdots = \left( \sum_{j=1}^{n} x^{j} y^{n-j} \right) + \left( \sum_{k=0}^{n-1} x^{k} y^{n-k} \right)$$

y ahora reemplazando $j$$k$.

$$ \cdots = \left( \sum_{k=1}^{n} x^{k} y^{n-k} \right) + \left( \sum_{k=0}^{n-1} x^{k} y^{n-k} \right)$$

(se puede tomar desde aquí?)

Answer 5

El $x^2 y^{n-2}$ plazo de $x \cdot x y^{n-2}$ es cancelado por el plazo de $(-y) \cdot x^2 y^{n-3}$. Similarly, the $(-y) \cdot x^{n-2} y$ is cancelled by the $x \cdot x^{n-3} y^2$.