Por lo que los números enteros $n$,$\phi(2n)=\phi(3n)$?

Question

Por lo que los números enteros $n$,$\phi(2n)=\phi(3n)$?

Sé que $\phi(n) = \phi(P_1^{a1})\cdots\phi(P_k^{ak}) = (P_1^{a1}-P_1^{a1-1})\cdots(P_k^{ak}-P_k^{ak-1})$ pero no estoy muy seguro de cómo se aplican en una manera que ayuda.

La única cosa que creo que podría probar era todos los casos de $n$ ser par o impar, y $n$ son divisibles por $3$ o no, sin embargo, no pude conseguir que esto funcione.

Cualquier ayuda es muy apreciada, gracias.

Answer 1

Basado en su fórmula para $\varphi(n)$, para cualquier prime $p$,

$$\varphi(pn)= \left\{\begin{array}{ccc} (p-1)\varphi(n)& \text{if} & p\not\mid n \\ p\varphi(n) & \text{if} & p\mid n\end{array} \right. $$

Si se aplica esto para $p=2$ $p=3$ usted debe ser capaz de llegar a algo más útil.

Answer 2

Si $3$ divide $n$,$\varphi(3n)=3\varphi(n)\ne \varphi(2n)$.

Si $3$ no divide $n$,$\varphi(3n)=2\varphi(n)$. Esto es $\varphi(2n)$ si y sólo si $2$ divide $n$.

Estas observaciones deberían ser suficiente para que usted termine.

Answer 3

Sugerencia: escribir $$ n = 2^3^b c $$with $2\nmid c, 3\nmid c$ y appy la fórmula.

Answer 4

Sólo para $n$ satisfacción $n \equiv 2 \pmod 6$ o $n \equiv 4 \pmod 6$.

Recuerde que el totient función es multiplicativo. Esto significa que si $\gcd(a, b) = 1$,$\phi(ab) = \phi(a) \phi(b)$. También recuerde que $\phi(2) = 1$$\phi(3) = 2$, y la fórmula para $\phi(p^\alpha)$ donde $p$ es algunos de los mejores.

Echemos un vistazo a este modulo 6.

• Si $n \equiv 1 \pmod 6$,$\phi(2n) = \phi(n)$$\phi(3n) = 2 \phi(n)$, lo $\phi(2n) \neq \phi(3n)$.
• Si $n \equiv 2 \pmod 6$, $n = 2^\alpha m$ (donde $\alpha$ es un número entero y $m$ es impar), $\phi(2n) = 2^\alpha \phi(m)$$\phi(3n) = 2 \times 2^{\alpha - 1} \phi(m) = 2^\alpha \phi(m)$, lo $\phi(2n) = \phi(3n)$ como se desee.
• Si $n \equiv 3 \pmod 6$, $n = 3^\alpha m$ (donde $\alpha$ es un número entero y $m$ no es un múltiplo de 3), por lo que tenemos $\phi(2n) = 2 \times 3^{\alpha - 1}\phi(m)$ $\phi(3n) = 2 \times 3^\alpha \phi(m)$ (aviso de los exponentes), por lo $\phi(2n) \neq \phi(3n)$.
• Si $n \equiv 4 \pmod 6$, $n = 2^\alpha m$ (donde $\alpha$ es un número entero y $m$ es impar), entonces tenemos $\phi(2n) = 2^{\alpha + 1} \phi(m)$ (debido a que el 4 contribuye 1 a 2 del exponente) y $\phi(3n) = 2 \times 2^\alpha \phi(m) = 2^{\alpha + 1} \phi(m)$, lo $\phi(2n) = \phi(3n)$ como se desee.
• Si $n \equiv 5 \pmod 6$,$\phi(2n) = \phi(n)$$\phi(3n) = 2 \phi(n)$, lo $\phi(2n) \neq \phi(3n)$.

Claramente los números impares no funciona para este. Debe ser lo suficientemente fácil para que usted vea que $n \equiv 0 \pmod 6$ no funciona. Que nos deja incluso los números que no son múltiplos de 3.