Producto Tensor de álgebra

Question

Podemos encontrar definir una norma de producto tensor $C(X) \otimes C(Y)$ de manera tal que la norma de la finalización de $C(X)\otimes C(Y)=C(X\times Y)$

Y podemos definir una norma de producto tensor $L^1(X)\otimes L^1(Y)$ de manera tal que la norma de la finalización de $L^1(X)\otimes L^1(Y)=L^1(X\times Y)$

Answer 1

Lo siento, estoy un poco tarde.

1. Para la primera pregunta tenga en cuenta que $C(X)$ son abelian (y por lo tanto de la energía nuclear) $C^*$-álgebras. Esto significa que no hay una única norma que puede poner en $C(X)\otimes C(Y)$ que la terminación es $C^*$-álgebra. Yo reclamo que la conclusión es isomorfo a $C(X\times Y)$. Considerar el mapa de $C(X)\otimes C(Y)$ $C(X\times Y)$definido en la simple tensores por $f\otimes g\mapsto f(x)g(y)$. A continuación, extender de manera lineal. Este mapa es inyectiva. Usted puede utilizar Stone–Weierstrass para demostrar que la imagen es muy densa. Por lo tanto usted puede restringir la norma de $C(X\times Y)$ a la imagen para obtener una nueva $C^*$-norma en $C(X)\otimes C(Y)$. Ya que la norma es la única que consigue que este debe ser el original de la norma. Puesto que la imagen es más densa que obtener el resultado deseado.

2. Para tu segunda pregunta, es cierto, pero desde $L^1$ no es un $C^*$-álgebra no es tan fácil. En general hay muchos norma puede poner en $L^1(X)\otimes L^1(Y)$. La teoría Topológica espacio vectorial producto tensor normas fue uno de los primeros trabajos de Grothendieck (antes de cualquier geometría algebraica). De todas maneras no es un tensor producto llamado proyectiva producto tensor (creo que también es llamado el topológica producto tensor) que le da el correcto isomorfismo (aunque no sé la prueba de la parte superior de mi cabeza).