Dar un ejemplo de una UFD con un anillo que no es una UFD.

Question

Dar un ejemplo de una UFD con un anillo que no es una UFD.

Pensé en $\mathbb{Z}[\sqrt{2},\sqrt{3}]$. Podría por favor explicar mi pregunta. Estoy tratando de entender los conceptos, necesito ayuda.

Answer 1

Tomar cualquier dominio integral que no es una UFD y considerarlo como un subanillo de su campo de fracciones. (Los campos son UFD por razones triviales y si no aceptas esto, toman el anillo polinómico sobre ella)

Answer 2

Considerar $\mathbb C$, es un campo por lo tanto obviamente $UFD $ pero si consideras un subanillo $\mathbb Z[\sqrt {-5}]$ no es una UFD. $9=3.3$ y también $9= (2+\sqrt{5} ) . (2-\sqrt5)$, por lo tanto la factorización no es único.

Answer 3

Una pregunta después de revisar las dos respuestas ya publicadas es si la existencia de una extensión $S\subset R$, $R$ una UFD y el nonunits $S$ ser nonunits en $R$, $S$ de hace una UFD.

Aunque plausible, esta también es falsa. Por ejemplo $k[x^2,x^3]\subset k[x]$ es un contraejemplo para cualquier UFD $k$. Esto es porque $x^2$ y $x^3$ son irreductibles y aún $x^6=(x^2)^3=(x^3)^2$.

Answer 4

$\mathbb{Z}[2i]$ como un subconjunto de a $\mathbb{Z}[i]$. Primero es no integralmente cerrado, así que no puede ser UFD, la segunda es la Euclídea.

Answer 5

Tal vez me estoy batiendo el caballo muerto, pero...

$\mathbb{Q} + X \mathbb{R}[X] \subset \mathbb{R}[X]$

es uno de los muchos ejemplos similares.