Exponencial de un operador diferencial

Question

Tengo un operador diferencial $L$ ,

$\displaystyle L = i (t\frac{\partial}{\partial z} - z\frac{\partial}{\partial t})$

Puedo golpear trivialmente este operador para $x,y,z$ y $t$ como $L x$ , $L t$ , $L y$ , $L z$ .

Pero tengo un problema con exponencial de ese operador . Quiero golpear este operador para $x,y,z$ y $t$ también.

$\exp(i\eta L)\,\,x$

( $\eta$ es la rapidez en este caso)

Lo primero que se me ocurre es utilizar la definición de exponencial de un operador:

$\displaystyle \exp(A) = I + A + \frac{A^2}{2!} + \frac{A^3}{3!} ...$

Pero, no sé por qué, no quiero usar esta suma infinita. Debe haber una forma inteligente de hacer esto..

¿Tiene alguna sugerencia para mí?

Answer 1

No puedo entender por qué escribiste eso $\eta$ es la rapidez: Sería la rapidez si $L$ fueran el impulso, pero no es así porque el signo interno en el lado derecho de la fórmula que define $L$ está mal. Su $L$ es formalmente un momento angular si no se presta atención al extraño nombre de la variable $t$ ¿tiempo?

Bueno, además de los procedimientos sugeridos por Qmechanic hay una tercera forma heurística bastante "fuerza bruta" para conseguir, sin embargo rápidamente La expresión de $e^{i\eta L}$ en ausencia de cualquier noción de teoría de representación de grupos de Lie. Podrías simplemente (a) utilizar la "relación universal" $$\left(e^{a \frac{d}{dx}}\right) f(x) = f(x+a)\qquad (1)$$ lo que evidentemente es cierto al menos para las funciones analíticas reales sólo ¡porque no es más que la expansión de Taylor! Y (b) puedes cambiar las variables.

Empecemos por: $$t = r \sin \tau\:, \quad z = r \cos \tau\qquad (2)$$ así que $$\frac{\partial z}{\partial \tau} = -t\:, \quad \frac{\partial t}{\partial \tau} = z$$ y por lo tanto $$L = i \left( - \frac{\partial z}{\partial \tau} \frac{\partial}{\partial z}- \frac{\partial t}{\partial \tau} \frac{\partial}{\partial t}\right) = - i \frac{\partial}{\partial \tau}\:.$$ Si tiene una función $\psi(t,z)$ se puede redefinir: $$\phi(\tau, r):= \psi(t(\tau, r), z(\tau, r))\:,$$ para que explotando (1): $$\left(e^{i\eta L}\psi\right)(t,z)= \left(e^{\eta \partial_\tau}\phi\right)(\tau,r)= \phi(\tau +\eta,r) = \psi(t(\tau+\eta, r), z(\tau+\eta, r))\:,\quad (3)$$ Ya que, a partir de (2): $$t(\tau+\eta, r)= t\cos \eta + r \sin\eta\:, \qquad z(\tau+\eta, r)= r\cos \eta - t \sin\eta$$ concluimos, a partir de (3), que: $$\left(e^{i\eta L}\psi\right)(t,z) = \psi\left( t\cos \eta + r \sin\eta, r\cos \eta - t \sin\eta\right)$$ Como era de esperar por el hecho de que $L$ es, formalmente, un operador de momento angular. Si el signo en el lado derecho de la definición de $L$ fueron $+$ el mismo procedimiento podría utilizarse para sustituir $\sin$ con $\sinh$ y $\cos$ para $\cosh$ en todas partes, obteniendo finalmente: $$\left(e^{i\eta L}\psi\right)(t,z) = \psi\left( t\cosh \eta + r \sinh\eta, r\cosh \eta + t \sinh\eta\right)\:.$$

(Por favor, marque todos los signos)

ADVERTENCIA : Toda esta discusión es completamente heurística sin garantía matemática para la validez de los resultados obtenidos que son, sin embargo, correctos bajo hipótesis adecuadas sobre el espacio de funciones empleado y las topologías utilizadas para calcular la exponencial. Por ejemplo, la expansión formal de Taylor de una exponencial como $e^{iA}$ es generalmente un procedimiento incorrecto, que conduce a resultados falsos, si $A$ es un operador no limitado en un espacio de Hilbert o de Banach, adoptando también la topología de operador fuerte.

Answer 2

Sugerencias:

1. Estudiar cómo derivar el álgebra de Lie $so(p,q)$ del grupo de Lie $SO(p,q)$ , cf. por ejemplo este Puesto de Phys.SE.

2. Trabajar a partir de ahora a nivel de álgebra de Lie (en contraposición a grupo de Lie). Demuestre que $$\hat{J}^{\mu\nu}=\hat{x}^{\mu}\hat{p}^{\nu}-\hat{x}^{\nu}\hat{p}^{\mu}$$ son generadores (de una representación) del álgebra de Lie $so(p,q)$ .

De este modo, la cuestión de las series de Taylor del mapa exponencial sólo se encontraría en el punto 1, y sólo en forma de matrices de dimensión finita (a diferencia de los operadores diferenciales).