Son variables aleatorias correlacionadas si y sólo si sus filas están correlacionadas?

Question

Suponga $X,Y$ son variables aleatorias continuas con finito segunda momentos. La población de la versión de Spearman coeficiente de correlación $ρ_s$ puede ser definida como el de Pearson producto-momento de coeficiente ρ de la probabilidad integrales transforma $F_X(X)$ $F_Y(Y)$ donde $F_X,F_Y$ son de la cdf de $X$$Y$, es decir,

$ρ_s(X,Y)=ρ(F(X),F(Y))$.

Me pregunto si uno puede concluir que en general

$ρ(X,Y)≠0↔ρ(F(X),F(Y))≠0$?

I. e., tenemos correlación lineal si y sólo si tenemos una correlación lineal entre las filas?

Actualización: En los comentarios se proporcionan dos ejemplos de por qué

$\rho(F_X(X),F_Y(Y))=0\rightarrow \rho(X,Y) = 0$

no es cierto en general, incluso si $X$ $Y$ tienen la misma distribución. Así que la pregunta debería ser reformulada como

$\rho(X,Y) = 0 \rightarrow \rho(F_X(X),F_Y(Y))$?

También es de gran interés para mí, si esto es cierto/falso si $X$ $Y$ tienen la misma distribución.

(Nota: Si $X$ $Y$ positivamente el cuadrante dependiente, es decir, $δ(x,y)=F_{X,Y}(x,y)−F_X(x)F_Y(y)>0$ luego Hoeffding la fórmula de la covarianza $Cov(X,Y)=∫∫δ(x,y)dxdy$ rendimientos que $ρ(X,Y)>0$$ρ(F(X),F(Y))>0$.)

Answer 1

Ni la correlación es cero, necesariamente, dice mucho acerca de la otra, ya que el 'peso' de los datos, especialmente los datos extremos - de manera muy diferente. Yo sólo voy a jugar con las muestras, pero ejemplos similares podrían ser construidos con distribuciones bivariadas / cúpulas.

1. De correlación de Spearman 0 no implica que la correlación de Pearson 0:

Como se menciona en la pregunta, hay ejemplos en los comentarios, pero la estructura básica es la de "construir un caso donde la correlación de Spearman es de 0, luego tomar un punto extremo y hacer más extremas sin necesidad de cambiar la correlación de Spearman"

Los ejemplos en los comentarios de la cubierta que muy bien, pero yo sólo voy a jugar con una más 'al azar' ejemplo aquí. Para considerar estos datos (en R), que por construcción tiene tanto de Spearman y Pearson correlación de 0:

x=c(0.660527211673069, 0.853446087136149, -0.00673848667511427, 
-0.730570343152498, 0.0519171047989013, 0.00190761493801791, 
-0.72628058443299, 2.4453231076856, -0.918072410495674, -0.364060229489348, 
-0.520696233492491, 0.659907250608776)
y=c(-0.0214697990371976, 0.255615059485107, 1.10561181413232, 0.572216886959267, 
-0.929089680725018, 0.530329993414123, -0.219422799586819, -0.425186120279194, 
-0.848952532832652, 0.859700836483046, -0.00836246690850083, 
1.43806947831794)

cor(x,y);cor(x,y,method="sp")
[1] 1.523681e-18
[1] 0

Ahora agregue 1000 a y[12] y restar 0.6 a partir de x[9]; la correlación de Spearman es invariable, pero la correlación de Pearson es ahora 0.1841:

  ya=y
  ya[12]=ya[12]+1000
  xa=x
  xa[9]=xa[9]-.6
  cor(xa,ya);cor(xa,ya,method="sp")
[1] 0.1841168
[1] 0

(Si desea fuerte significación en que la correlación de Pearson, simplemente replicar la totalidad de la muestra varias veces).

2. La correlación de Pearson 0 no implica correlación de Spearman 0:

He aquí dos ejemplos con cero de correlación de Pearson, pero distinto de cero de correlación de Spearman (y de nuevo, si usted desea fuerte significación en estas correlaciones de Spearman, simplemente replicar la totalidad de la muestra varias veces).

Ejemplo 1:

 x1=c(rep(-3.4566679074320789866,20),-2:5)
 y1=x1*x1
 cor(x1,y1);cor(x1,y1,method="spe")
[1] -8.007297e-17 
[1] -0.3512699   

Ejemplo 2:

 k=16.881943016134132 
 x2=c(-9:9,-k,k)
 y2=c(-9:9,k,-k)
 cor(x2,y2);cor(x2,y2,method="spe")
[1] -9.154471e-17
[1] 0.4805195

En este último ejemplo, la correlación de Spearman se pueden fortalecer mediante la adición de más puntos en y=x, mientras que hacer dos puntos en la parte superior izquierda y la inferior derecha más extrema para mantener la correlación de Pearson en 0.