¿Hay un significado más profundo de la identidad ${{\sin x}\over x} = \prod_{k=1}^{\infty} \cos\left({x\over{2^k}}\right)$ ?

Question

¿Hay algún significado más profundo en la identidad trigonométrica $${{\sin x}\over x} = \prod_{k=1}^{\infty} \cos\left({x\over{2^k}}\right)$$ más allá de lo que corresponde a las funciones características de las variables aleatorias i.i.d.?

Answer 1

Sí, hay algo más que la pura fórmula analítica, más allá de su belleza intrínseca.

Tomémoslo bajo la forma:

$$\frac{\sin \pi x}{\pi x} = \prod_{k=1}^{\infty}\cos{\frac{\pi x}{2^k}}= \lim_{n \rightarrow \infty}{\prod_{k=1}^{n}\cos{\frac{\pi x}{2^k}}}$$ Sí, hay algo más que la pura fórmula analítica, más allá de su belleza intrínseca.

Tomémoslo bajo la forma:

$$\frac{\sin \pi x}{\pi x} = \prod_{k=1}^{\infty}\cos{\frac{\pi x}{2^k}}= \lim_{n \rightarrow \infty}{\prod_{k=1}^{n}\cos{\frac{\pi x}{2^k}}}$$

Su Transformada de Fourier (utilizando la fórmula de Euler $\cos(a)=\frac{1}{2}(e^{ia}+e^{-ia}))$ es:

$$\mathbb{1}_{[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]}(u) = \lim_{n \rightarrow \infty}{\prod_{k=1}^{n}\frac{1}{2}\left(\delta(u+\frac{k}{2^{k+1}})+\delta(u-\frac{k}{2^{k+1}})\right)} \ \ \ (*)$$

Ahora, vamos a desarrollar el convolución producto en el lado derecho, en el caso particular $n=3$ para entender lo que está pasando, es decir, (utilizando la propiedad $\delta(u-a)*\delta(u-b)=\delta(u-(a+b))$ ):

$$\frac{1}{8}\left(\delta(u+\frac{1}{4})+\delta(u-\frac{1}{4})\right)*\left(\delta(u+\frac{1}{8})+\delta(u-\frac{1}{8})\right)*\left(\delta(u+\frac{1}{16})+\delta(u-\frac{1}{16})\right)$$

$$=\frac{1}{8}\left(\delta(u+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16})+\delta(u+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16})+\cdots+\delta(u-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\frac{1}{16})\right)$$

$$=\frac{1}{8}\left(\delta(u+\frac{7}{16})+\delta(u+\frac{5}{16})+\cdots+\delta(u-\frac{7}{16}))\right)$$

Siendo el caso general:

$$\prod_{k=1}^{n}\frac{1}{2}\left(\delta(u+\frac{k}{2^{k+1}})+\delta(u-\frac{k}{2^{k+1}})\right)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=-2^{n}+1}^{k=2^{n}-1}\delta(u+\frac{k}{2^{n+1}})$$

Explicación: cada término obtenido en el desarrollo del producto da lugar a un número que puede ser (hasta la factorización por $1/2$ ) escrito como la descomposición en base 2 de un número de la forma $\dfrac{N}{2^{n+1}}$ Todos los números de esta forma se representan exactamente una vez. Por eso obtenemos un espaciado regular.

Interpretación (agradable) :

• Intuitivamente, la "masa" uniformemente extendida en el intervalo $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$ se coloca en $2^n$ "Botes de Dirac".

• En términos más probabilísticos (o de "teoría de la medida") y rigurosos, la fórmula transformada expresa una convergencia de una distribución uniforme discreta regularmente espaciada a su homóloga continua.