¿Por qué norma espectral es igual el valor singular más grande?

Question

Esto puede ser una cuestión trivial pero no he podido encontrar una respuesta:

$$\left \| A \right \| _2=\sqrt{\lambda_{\text{max}}(A^{^*}A)}=\sigma_{\text{max}}(A)$$

donde se define la norma espectral $\left \| A \right \| _2$ de una matriz compleja $A$ $$\text{max} \left\{ \|Ax\|_2 : \|x\| = 1 \right\}$ $

¿Cómo uno probar la primera y la segunda igualdad?

Answer 1

Poner $B=A^*A$ que es una matriz de Hermite.

Como una transformación lineal de un espacio vectorial Euclídeo $E$ es de Hermite iff existe una base ortonormales de Correo que consta de todos los vectores propios de a $B$

Deje $\lambda_1,...,\lambda_n$ ser los autovalores de a $B$ $\left \{ e_1,...e_n \right \}$ ser un ortonormales base de $E$

Deje $x=a_1e_1+...+a_ne_n$

tenemos $\left \| x \right \|=\left \langle \sum_{i=1}^{n}a_ie_i,\sum_{i=1}^{n}a_ie_i \right \rangle^{1/2} =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^{2}}$,

$Bx=B\left ( \sum_{i=1}^{n}a_ie_i \right )=\sum_{i=1}^{n}a_iB(e_i)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_ia_ie_i$

Denotar $\lambda_{j_{0}}$ a ser el mayor autovalor de a $B$.

Por lo tanto,

$\left \| Ax \right \|=\left \langle Ax,Ax \right \rangle=\left \langle x,A^*Ax \right \rangle=\left \langle x,Bx \right \rangle=\left \langle \sum_{i=1}^{n}a_ie_i,\sum_{i=1}^{n}\lambda_ia_ie_i \right \rangle=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i\overline{\lambda_ia_i}} \leq \underset{1\leq j\leq n}{max}\sqrt{\left |\lambda_j \right |} \times (\left \| x \right \|)$

Por lo tanto, si $\left \| A \right \|$ = $\text{max} \left\{ \|Ax\| : \|x\| = 1 \right\}$ a continuación, $\left \| A \right \|\leq \underset{1\leq j\leq n}{max}\sqrt{\left |\lambda_j \right |}$ (1)

Considere la posibilidad de: $x_0=e_{j_{0}}$ $\Rightarrow \left \| x \right \|=1$ de modo que $\left \| A \right \| \geq \left \langle x,Bx \right \rangle=\left \langle e_{j_0},B(e_{j_0}) \right \rangle=\left \langle e_{j_0},\lambda_{j_0} e_{j_0} \right \rangle=\sqrt{\left | \lambda_{j_0} \right |}$ (2)

La combinación de (1) y (2) nos da $\left \| A \right \|= \underset{1\leq j\leq n}{max}\sqrt{\left | \lambda_{j} \right |}$ donde $\lambda_j$ es el autovalor de a $B=A^*A$

Conclusión: $$\left \| A \right \| _2=\sqrt{\lambda_{\text{max}}(A^{^*}A)}=\sigma_{\text{max}}(A)$$