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¿Cómo se definiría un objeto "múltiple" en la escritura en prosa?

Tengo una pregunta que me temo que puede suscitar alguna objeción por el hecho de que se haya publicado aquí, pero no se me ocurre un lugar más apropiado para plantearla. No soy matemático; soy historiador, y estoy trabajando en un escrito en prosa que analiza la forma en que un antropólogo de principios del siglo XX definió la idea de lo que es una "cultura". La idea aquí, por supuesto, es que las culturas pueden definirse de forma diferente, y en mi trabajo quiero argumentar que este antropólogo describió las culturas como objetos "múltiples".

La cuestión es hasta qué punto esta descripción es metafórica y hasta qué punto es literal. En el lenguaje, la definición de un colector que me interesa es la idea de que un colector es una cosa entera con muchas partes distintas. Sin embargo, me pregunto si el concepto matemático de un colector puede ampliar de forma importante esta idea. Lo que me pregunto es qué es un objeto múltiple en términos matemáticos.

Tengo la sensación de que un objeto múltiple en matemáticas es una forma de hablar de un espacio o un objeto que es continuo y que, sin embargo, se extiende en dimensiones que van más allá de las que los humanos pueden con sus sentidos básicos (que se limitan al espacio euclidiano ) percibir

Estoy seguro de que esta definición cae con dureza en muchos de sus oídos, pero es exactamente por lo que estoy escribiendo aquí. ¿Cómo puedo entender/describir mejor este concepto en la prosa? ¿Estoy completamente equivocado en mi comprensión? ¡Cualquier ayuda sería maravillosa!

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Jenny Puntos 1431

Gran parte del interés en las variedades proviene de la idea de que son "localmente triviales" en un sentido adecuado. Realmente, el mantra del geómetra moderno es "localmente trivial, globalmente complicado".

¿Qué significa describir un "objeto geométrico"? En el instituto, todos aprendemos geometría básica (euclidiana): el estudio de las simetrías y transformaciones de los objetos sólidos en el plano ( $\mathbb{R}^2$ ) o en el espacio ( $\mathbb{R}^3$ ). Verás generalizaciones y abstracciones de esto en temas como el álgebra lineal o la teoría de grupos. Un estudiante de bachillerato avanzado o de primer ciclo universitario podría encontrar no euclidiano geometrías. Los ejemplos básicos de esto que todavía se parecen a la geometría en el plano son la geometría en la esfera y la geometría en la silla de montar (es decir, el paraboloide hiperbólico). Para hacerte una idea de por qué son diferentes, intenta dibujar un "triángulo" sobre estos objetos. ¿Qué notas? Pista: si sumas los ángulos dentro de estos triángulos, ¿son iguales a $180^\circ$ ? ¿Y las "líneas paralelas"?

En realidad, un colector, ya sea topológico o suave o complejo o lo que sea, encierra la idea de un objeto geométrico "bonito" que, si se "amplía" de cerca, recuerda a la geometría básica de la escuela secundaria. Toda la matemática de la escuela secundaria y tal vez el primer o segundo año de matemática de nivel universitario tratan de la geometría del espacio euclidiano, desde muchas perspectivas diferentes. Es natural entonces decir: "Bien, entiendo el espacio euclidiano. ¿Qué tipo de objetos encontraré si sólo requiero que el espacio sea localmente euclidiano? ¿Qué puedo salvar? ¿Qué se pierde?".

La matemática del siglo XX y más allá. Puedes hacer tanto con sólo esta pequeña generalización. Este es uno de los grandes pasos necesarios para la teoría de la relatividad general de Einstein: el espacio es curvado no es plana (al menos, globalmente).

Lo que debería sacar de esto Una variedad es un espacio "suficientemente bonito" que es localmente muy fácil de describir, pero cuya estructura total o "global" puede ser muy complicada.

P.D. También te puede interesar mucho la noción de "gavilla". Siempre que hay una comparación entre la estructura local y la estructura global de un objeto geométrico, la noción de gavilla se esconde en el fondo. Y, descaradamente, te enlazo a una entrada de mi blog de hace un tiempo que describe estas cosas desde una perspectiva intuitiva:

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sholsinger Puntos 1570

La forma más fácil de entender lo que es un colector es considerar la tierra. Cuando miras a tu alrededor, la Tierra parece plana, pero cuando la alejas, es una esfera (un geoide, supongo, pero ¿a quién le importa?).

De forma más general, una superficie, o 2manifold, es aquella que se parece localmente a un trozo si $\mathbb{R}^2$ . En otras palabras, se arma "pegando" piezas del plano de manera suave. Este es quizás el origen del propio término (no estoy seguro).

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AreaMan Puntos 3568

En prosa: Un colector es un conjunto con información de coordenadas locales, construido de tal manera que si dos coordenadas locales se superponen en algún lugar, hay una función de transición "agradable" de las coordenadas de la superposición en el primer sistema de coordenadas locales al segundo sistema. Por ejemplo, puedo poner coordenadas locales en una esfera mediante proyecciones estereográficas - puedes buscar imágenes de esto.

Metáfora: Si tengo múltiples mapas parciales de un país, compilados por cartógrafos utilizando instrumentos que son los mismos salvo por algún error previsible, y tengo una fórmula de transición para pasar del mapa de un cartógrafo al de otro y viceversa sólo estirando o exprimiendo los mapas que cada uno proporciona, entonces puedo utilizar toda la información que me proporcionan para entender algo sobre la geometría del país (dependiendo de lo "bonita" que sea la fórmula de transición), incluso aunque cada pieza estuviera incompleta y al principio pareciera incompatible con las demás.

Puedes buscar una definición rigurosa aquí o en la wikipedia. Esta definición suele ir acompañada de una imagen de dos discos superpuestos en una superficie, oscurecidos donde se superponen, flechas que envían cada disco a dos secciones de un plano y otra flecha que envía los trozos oscurecidos de una sección del plano a la otra. Este es un diagrama útil para ayudar a entender esta idea. Verás la palabra "homeomórfica", que a grandes rasgos significa una función que no distorsiona demasiado la forma, no la corta ni pega trozos, sólo la aplasta. Es posible que veas la palabra difeomorfo - esto es sólo una función que no distorsiona la forma demasiado de una manera que es más restrictiva que un homeomorfismo - todo el aplastamiento es continuamente (o infinitamente) diferenciable, por lo que no hace ninguna esquina aguda, por ejemplo.

P.D. Soy estudiante, aún no soy matemático, así que tomen lo que digo con un grano de sal.

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HappyEngineer Puntos 111

El término topológico, "manifold", ya se ha tratado anteriormente en varias respuestas, pero sólo quiero decir que el autor casi seguro que no se refería al término topológico "manifold".

Sin una cita exacta, un "objeto múltiple" podría utilizar "múltiple" como adjetivo o como sustantivo. Pero los significados comunes no matemáticos para "manifold" son, según Google:

adjetivo: muchos y variados

sustantivo:
1. un tubo o cámara que se ramifica en varias aberturas
2. (técnico) algo con muchas partes o formas diferentes, en particular.

Supongo que podría haber utilizado cualquiera de estos significados, pero sospecho que el adjetivo o el sustantivo (2). Podría haberse referido al sustantivo (1) en un sentido metafórico.

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Michael Hoppe Puntos 5673

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