Creo que la afirmación es falsa en general. Los residuos en $s=1$ no coinciden. En efecto, consideremos el caso más simple donde $P=p$ es el primer y $\equiv 1 \mod 4$. Es fácil ver que $\mathcal O_K^\times=\{\pm 1\}$ donde $K=\mathbb Q(\sqrt{-p})$. La reivindica la igualdad es entonces
$$\sum\frac{1}{m^2+pn^2} = L_1(s) L_{-4p}(s) + L_p(s)L_{-4}(s).$$
Tenemos $L_1(s) L_{-4p}(s) = \zeta(s)L(\theta_K, s) = \zeta_K(s)$ donde $\theta_K$ es la cuadrática carácter de director de orquesta $4p$ conectado a $K$, e $\zeta_K$ es el Dedekind zeta función. El plazo $ L_p(s)L_{-4}(s)$ es holomorphic en $s=1$, por lo que no contribuye en nada a la de residuos. Por otra parte, la suma
$$\frac{1}{2}\sum\frac{1}{m^2+pn^2} := L(\mathfrak c_0, s)$$
puede ser identificado con la suma de $\|I\|^{-s}$ $I$ ejecución sobre los principales ideales de la $K$ (es decir, los elementos de la trivial ideal de clase $\mathfrak c_0$). (I dividido por dos, porque la $\mathcal O_K^\times=\{\pm 1\}$.) Un clásico de resultados estados de que los ideales son distribuidos de manera uniforme entre los ideales de las clases, es decir, que $\text{res}_{s=1} L(\mathfrak c, s) = \kappa/h$, donde $h = |\text{Cl}(\mathcal O_K)|$, $\kappa = \text{res}_{s=1} \zeta_K(s)$, y $\mathfrak c$ es cualquier ideal de clase. La comparación de los residuos en ambos lados de los rendimientos
$$2\kappa/h = \kappa \Rightarrow h=2$$
lo que implica que los residuos sólo coinciden si $h=2$. Así que la fórmula es falsa, tan pronto como $\mathbb Q(\sqrt{-p})$ tiene clase número $\neq 2$.
Comentario: esto no refuta el caso de $p=5$ que usted marcó, porque en este caso $h=2$.
Segunda observación: es posible "único" de los principales ideales, mediante el grupo de personajes de los ideales del grupo de clase. Deje $G$ ser el grupo de personajes de $\text{Cl}(\mathcal O_K)$. Dado un elemento $\eta\in G$, podemos definir el $L$-función
$$L(\eta, s) = \sum_{I\subseteq O_K}\frac{\eta([I])}{\|I\|^s},$$
donde $[I]$ denota el ideal de la clase de $I$. Luego, por la ortogonalidad de las relaciones de los personajes, ideal para cualquier clase de $\mathfrak c$ hemos
$$L(\mathfrak c, s) = \frac{1}{h}\sum_{\eta \in G}\eta(\mathfrak c)^{-1}L(\eta, s).$$
En particular, si $|\mathcal O_K^\times| = w < \infty$, tenemos la hermosa fórmula
$$\sum_{\alpha \in \mathcal O_k}N(\alpha)^{-s} = \frac{w}{s} \sum_{\eta \in G}L(\eta, s).$$
