La eliminación de los términos de la derivada mixta es posible mediante la inserción de la segunda ecuación $dJ/db$ en la primera ecuación y viceversa: $$ \frac{dI}{db} = -\frac{b^2}{c^2} \frac{dI}{db} + \frac{b}{c}\frac{2ab-1}{2c} I - \frac{2ab+1}{2c} J \\ \frac{dJ}{db} = -\frac{b^2}{c^2} \frac{dJ}{db} - \frac{2ab-1}{2c} I - \frac{b}{c}\frac{2ab+1}{2c} J $$
reordenando se obtienen dos ecuaciones acopladas $$ \frac{dI}{db} + \left(-\frac{c^2}{c^2+b^2}\frac{b}{c}\frac{2ab-1}{2c}\right) I = \left(-\frac{c^2}{c^2+b^2}\frac{2ab+1}{2c}\right) J \quad (*) \\ \frac{dJ}{db} + \left(\frac{c^2}{c^2+b^2}\frac{b}{c}\frac{2ab+1}{2c}\right) J = \left(-\frac{c^2}{c^2+b^2}\frac{2ab-1}{2c}\right) I \quad (**) $$
que se puede convertir en una ecuación vectorial: $$ \frac{d}{db} \left[ \begin{array}{c} I \\ J \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} I \\ J \end{array} \right] $$
con la matriz $$ A = \left[ \begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} \frac{b}{c^2+b^2} \frac{2ab-1}{2} & \frac{c}{c^2+b^2} \frac{2ab+1}{2} \\ -\frac{c}{c^2+b^2} \frac{2ab-1}{2} & -\frac{b}{c^2+b^2} \frac{2ab+1}{2} \end{array} \right] $$
Ahora, si se pone en una forma como la que se utiliza para los sistemas dinámicos, podría haber herramientas útiles para obtener más información analítica.
Ahora estaría bien un gráfico del campo vectorial direccional, con puntos estacionarios, etc.
El caso $a = c = 1$
Aquí la matriz se reduce a $$ A = \left[ \begin{array}{cc} \frac{b}{1+b^2} \frac{2b-1}{2} & \frac{1}{1+b^2} \frac{2b+1}{2} \\ -\frac{1}{1+b^2} \frac{2b-1}{2} & -\frac{b}{1+b^2} \frac{2b+1}{2} \end{array} \right] $$
Este es el candidato dado para $I$ : $$ I^c(b) = \frac{e^{-\sqrt{1 + b^2}}}{\sqrt{1 + b^2}\sqrt{b + \sqrt{b^2+1}}} $$
con la derivada $$ \frac{dI^c}{db}(b) = -\frac{e^{-\sqrt{1+b^2}} \left(2 b^3 + \left(2 \sqrt{1+b^2} + 3 \right) b^2 + \left(3 \sqrt{1+b^2}+2\right) b + 1 \right)} {2 (1 + b^2)^{3/2} \left(\sqrt{1+b^2}+ b \right)^{3/2}} $$
de la ecuación $(*)$ obtenemos $$ J^c(b) = \frac{2(1+b^2)}{2b+1}\left( -\frac{e^{-\sqrt{1+b^2}} \left(2 b^3 + \left(2 \sqrt{1+b^2} + 3 \right) b^2 + \left(3 \sqrt{1+b^2}+2\right) b + 1 \right)} {2 (1 + b^2)^{3/2} \left(\sqrt{1+b^2}+ b \right)^{3/2}} - \frac{2(1+b^2)}{b(2b-1)} \frac{e^{-\sqrt{1 + b^2}}}{\sqrt{1 + b^2}\sqrt{b + \sqrt{b^2+1}}} \right) $$
