Transformada de Fourier de una línea $Ax+By+C = 0$

Question

¿Puede alguien ayudarme con una derivación paso a paso para la Transformada de Fourier de una línea? Parece ser simple pero aún no puedo entenderlo. Sé cuál es el resultado final pero no puedo comprender los pasos intermedios. He intentado usar los teoremas de Desplazamiento y Similitud pero no obtengo el resultado final.

Tenemos una línea $Ax+By+C=0$ que puede ser llamada un impulso de línea $\delta(Ax+By+C)$ donde $\delta$ es la función delta.

Nos gustaría derivar la Transformada de Fourier $\mathcal{F}$ de este impulso de línea que se menciona en $[1]$ como:

$$\mathcal{F}(\delta(Ax+By+C))(u,v) = e^{i2 \pi C (Au+Bv)} \delta(-Bu+Av)$$

donde $u,v$ son las componentes de frecuencia en dos dimensiones.

$[1]$: Segmento de Línea Muestreado con Propiedades de Ruido Azul por Xin Sun et al 2013

Answer 1

El resultado parece ser válido solo para $A^2 + B^2 = 1$.

primer enfoque (fuerza bruta):

Simplemente comencemos con la definición $$\mathcal{F}(\delta(Ax+By+C))(u,v) = \int dx\! \int dy\, \delta (A x + B y +C) e^{-2\pi i (x u + y v)}. \tag{F}$$

En un primer paso, realizamos la integración sobre $y$. Notemos que $$\delta (A x + By +C) = \delta ( B (y + C/B +A x /B)) = \frac{1}{|B|} \delta(y + C/B +A x /B)$$ (ya que $\delta(\alpha x) = |\alpha|^{-1} \delta(x)$) y por lo tanto $$\begin{align}\int dy\,\delta (A x + B y +C) e^{-2\pi i (x u + y v)} &= \frac1{|B|} \exp[-2\pi i ( x u -(C/B +A x /B) v)]\\ &= \frac1{|B|} \exp[ -2\pi i x (u - A v/B) + 2\pi i C v/B].\end{align} $$

Resta la integral sobre $x$. Utilizando el resultado estándar $$\int\! dx\, e^{-2\pi i x \alpha} = \delta(\alpha),$$ obtenemos $$\mathcal{F}(\delta(Ax+By+C))(u,v) = \frac1{|B|} e^{2\pi i C v/B} \delta(u - A v/B).$$ Tenemos $|B|^{-1} \delta(u - A v/B) = \delta(B u - A v)$. Debido a la función $\delta$, podemos usar $ B u = Av$ en el prefactor. Por lo tanto, podemos tener "simetrías" ($g$ es una función arbitraria) $$\frac{1}{|B|} g(v/B) \delta(u- Av /B) = g(v/B) \delta(B u -A v)=g[(v/B)(A^2 +B^2) /(A^2 + B^2)]\delta(B u -A v)=g[(A (Av/B) + B v) /(A^2 + B^2)]\delta(B u -A v) = g[(A u + B v) /(A^2 + B^2)] \delta(B u -A v). $$

Obtenemos el resultado final $$ \mathcal{F}(\delta(Ax+By+C))(u,v) = \exp[2\pi i C (A u + B v) /(A^2 + B^2)] \delta(B u - A v). \tag{res}$$

segundo enfoque:

Para aprovechar al máximo la función $\delta$, queremos introducir una nueva variable $s= Ax + By + C$ en (F). Deseamos usar una segunda variable cuyos ejes de coordenadas sean perpendiculares, por lo que elegimos $t= ( Ay -B x)/(A^2+B^2)$. El factor se elige de manera que el Jacobiano para el cambio de variable de $(x,y)$ a $(s,t)$ sea unitario.

Un cálculo sencillo muestra que $$ x u + y v =(s -C) (A u + B v)/(A^2+B^2) + t (-Bu + Av) . $$ Por lo tanto, tenemos $$\mathcal{F}(\delta(Ax+By+C))(u,v) = \int \!dt \int\! ds\, \delta(s) \exp\{-2 \pi i[(s -C) (A u + B v)/(A^2+B^2) + t (-Bu + Av)] \}.$$

La integral sobre $s$ se realiza fácilmente y obtenemos $$\mathcal{F}(\delta(Ax+By+C))(u,v) = \int \!dt \exp\{2 \pi i C (A u + B v) /(A^2+B^2) - 2\pi i t (-Bu + Av) ] \}.$$

La integral sobre $t$ conduce a una función $\delta$ $$\int\!dt \exp\{-2 \pi i t (-Bu + Av) \} = \delta(-Bu +Av).$$ Y llegamos al resultado (res) citado anteriormente.

Answer 2

Aquí daré una respuesta para una dimensión arbitraria.

Para $\vec{x},\vec{w}_1\in \mathbb{R}^n$, ¿cuál es la transformada de Fourier a lo largo de la línea $\vec{w}_1\cdot\vec{x} + c = 0$? Se asume que $\vec{w}_1$ está normalizado.

Usando la delta de Dirac para definir la línea en $\mathbb{R}^n, debemos calcular entonces,

\begin{align} \mathcal{F}[\delta(\vec{w}_1\cdot\vec{x} + c)](\vec{\nu}) = \int d\vec{x} \, \delta(\vec{w}_1\cdot\vec{x} + c) \exp{[-2\pi i \vec{x}\cdot\vec{\nu}]},\tag{1} \end{align} donde $\vec{\nu}$ son las variables del espacio de Fourier.

Sea $\{\vec{w}_2,...,\vec{w}_n\}$ la base ortonormal que abarca $\mathrm{Null}[\vec{w}_1]$. Puedes determinar esto para cualquier dimensión con el comando de Wolfram NullSpace, por ejemplo para 3D.

Define un cambio de variables por, \begin{align} s_1 =& \vec{w}_1\cdot\vec{x} + c\\ s_2 =& \vec{w}_2\cdot\vec{x}\\ &...\\ s_n =& \vec{w}_n\cdot\vec{x}. \end{align}

Escrito de manera más precisa, \begin{align} \vec{s} =& W \vec{x} + \hat{s}_1 c\\ I =& W W^T. \tag{2} \end{align} La segunda línea proviene de la ortogonalidad de la base elegida para abarcar el espacio nulo de $\vec{w}_1$. Nota: El determinante de una matriz ortogonal que satisface (2) es $1$, y representa una matriz de rotación, por lo que el jacobiano de la transformación es $1$.

Con estas nuevas variables la ecuación (1) se convierte en, \begin{align} \mathcal{F}[\delta(s_1)](\vec{\nu}) = \int d\vec{s} \, \delta(s_1) \exp{[-2\pi i W^T(\vec{s}-\hat{s}_1 c)\cdot\vec{\nu}]}. Ahora llevamos a cabo la integral sobre $s_1$ utilizando $\vec{s} = \sum_{i=1}^n s_i \hat{s}_i$, \begin{align} \mathcal{F}[\delta(s_1)](\vec{\nu}) =& \int ds_n ... \int ds_1 \, \delta(s_1)\exp{[-2\pi i W^T(\sum_{i=1}^n s_i \hat{s}_i-\hat{s}_1 c)\cdot\vec{\nu}]}\\ =& \exp{[2\pi i c(W^T\hat{s}_1)\cdot\vec{\nu}]} \int ds_n ... \int ds_2 \, \exp{[-2\pi i \sum_{i=2}^n s_i (W^T\hat{s}_i)\cdot\vec{\nu}]}. Realizando las integraciones restantes usando la definición de la delta de Dirac $\delta(y) = \int dp\, \exp[-2\pi i p y]$, obtenemos, \begin{align} \mathcal{F}[\delta(s_1)](\vec{\nu}) =& \exp{[2\pi i c(W^T\hat{s}_1)\cdot\vec{\nu}]} \prod_{i=2}^n \delta(W^T\hat{s}_i\cdot\vec{\nu}).

Para evaluar $W^T\hat{s}_i$, nota que los vectores de la base en el espacio rotado están relacionados con los vectores de la base originales mediante la misma matriz de rotación, es decir, $[\hat{s}_1, ..., \hat{s}_n] = W [\hat{x}_1, ..., \hat{x}_n]$. Por lo tanto, $W^T\hat{s}_i = \hat{x}_i = \hat{x}_i (\vec{w}_1\wedge\vec{w}_1 + ... + \vec{w}_n\wedge\vec{w}_n)$.