¿Cómo puedo encontrar las soluciones enteras de la siguiente ecuación (sin script o prueba y error)?
$$x^x=122+231y$$
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La función $f_a: \Bbb N \to\Bbb Z_p$ definido como $f_a(x)=a^x$ donde $a \in\Bbb Z_p^*$ es periódica y su período es un divisor de $p-1$ . Entonces la ecuación modular $x^x \equiv 2 \pmod 3$ sólo tiene que ser comprobado por $x \in\ {1, \ldots ,6\}$ . Y $$1^1 \equiv 1 \pmod 3$$ $$2^2 \equiv 1 \pmod 3$$ $$3^3 \equiv 0 \pmod 3$$ $$4^4 \equiv 1 \pmod 3$$ $$5^5 \equiv 2 \pmod 3$$ $$6^6 \equiv 0 \pmod 3$$ Por lo tanto, si $x$ es una solución, entonces $x \equiv 5 \pmod 6$ .
Ahora, escribe $x=5+6k$ y tratar de encontrar soluciones para $$(5+6k)^{5+6k} \equiv 3 \pmod 7$$ pero, por LFT, esto equivale a $$(5+6k)^{-1} \equiv 3 \pmod 7$$ o $$5+6k \equiv 5 \pmod 7$$ así que $k$ es un múltiplo de $7$ es decir.., $x=5+42j$ .
Ahora tenemos que lidiar con el último factor principal de $231$ es decir.., $11$ . $$(5+42j)^{5+42j} \equiv (5-2j)^{5+2j} \equiv 1 \pmod {11}$$ Hay algunas posibilidades ahora:
- $5-2j \equiv1\pmod {11}$ que da $x=462m+89$ .
- $5-2j \equiv -1 \pmod {11}$ y $5+2j$ es parejo. Pero esto es imposible.
- $5-2j \equiv 4,5,9 \text { or }3 \pmod {11}$ y $5+2j$ es un múltiplo de $5$ que da $x=2310m+5$ , $845$ , $1895$ o $2105$ .
- $5+2j$ es múltiplo de $10$ lo cual es imposible.
En resumen, las soluciones son los números enteros positivos de la forma $$x= \left\ { \begin {array}{l} 89+462m \\ 5+2310m \\ 845+2310m \\ -405+2310m \\ -25+2310m \end {array} \right. $$ donde $m$ es un número entero.
Algunas soluciones para $x$ : $5$ , $89$ , $551$ , $845$ , $1013$ , $1475$ , ...
Michael Steele
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345
Por el Teorema del Restos Chinos, para conocer el valor de $x^x$ modulo $231$ sólo necesitamos conocerlo modulo $3,7,11$ .
El valor de $x^y$ modulo $n$ depende de los valores de $x$ modulo $n$ y $y$ modulo $ \phi (n)$ . Así que si $n$ es primordial, el valor de $x^x$ modulo $n$ depende de $x$ modulo $n(n-1)$ .
Un cálculo da que
$x^x \equiv 122 \pmod 3 \iff x^x \equiv 2 \pmod 3 \iff x \equiv 5 \pmod 6$ , $x^x \equiv 122 \pmod 7 \iff x^x \equiv 3 \pmod 7 \iff x \equiv 5,31 \pmod {42}$
Hasta ahora sabemos que debemos tener $x \equiv 5 \pmod {42}$ .
Fuera de la $28$ soluciones modulo $110$ a $x^x \equiv 122 \pmod {11}$ Sólo $9$ son congruentes con $1$ modulo $2$ y esos son $1,5,15,23,25,45,67,75,89$ modulo $110$ .
Tan modulo $2310$ Tenemos $9$ soluciones para $x^x = 122 \pmod {231}$ y son $x \equiv 5,89,551,845,1013,1475,1895,1937,2105 \pmod {2310}$
frogeyedpeas
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4486
Estamos tratando de resolver:
$$ x^x \equiv 122 \ \mod \ 231 $$
Por lo tanto, naturalmente quisiéramos factor 231, que es
$$ 3*7*11 $$
Por lo tanto, podemos dividir esto en un sistema de 3 ecuaciones modulares
$$ x^x \equiv 2 \mod \ 3$$ $$ x^x \equiv 3 \mod \ 7$$ $$ x^x \equiv 1 \mod \ 11$$
al explorar la ecuación parece que hay soluciones de la forma respectivamente para $$ x \equiv 5 \mod \ 6$$ (parece resolver el mod 3)
$$ x \equiv 5 \mod \ 84 $$ (parece resolver el mod 7)
Y..: $$ x \equiv 1 \mod \ 11 $$ (resuelve el mod 11 pero no es el único caso)
¿Por qué estos en particular? No lo sé... Vale la pena señalar...
$$ x \equiv 0 \mod 5 $$ (el otro caso aparente)
Parece implicar
$$ x \equiv 1 \ or \ -1 \mod 11 $$
Otra vez: ahora parece que:
$$ j*84*10^k + 5 $$ es constante para todo k > 0 para la j fija
específicamente si j = 0 o j = 1 entonces para todo k > 0 esto parece ser la solución:
Las soluciones de muestra incluyen:
5,89, 845, 8405, 84005 etc...
