Derivada y Antiderivada: Supongamos $F: [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ es diferenciable en $[a,b]$ .

Question

Supongamos que $F: [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ es diferenciable en $[a,b]$ . ¿Se deduce que $\int_{a}^{b} F' = F(b)-F(a)$ ?

Es una pregunta interesante. ¿No tenemos que asumir que $F'(x)$ es siempre igual a $f(x)$ para que esto funcione? En otras palabras $F(x)$ al ser diferenciables siempre garantizan que $F'(x)$ ¿es integrable?

Gracias.

Answer 1

Hay varias preguntas en el post que están entrelazadas, e intentaré enumerar un montón de definiciones/conclusiones a continuación con la esperanza de responder a tu pregunta (todas las integraciones a continuación son integraciones de Lebesgue):

En primer lugar, si $F$ es una antiderivada de $f$ entonces la derivada de $F$ es $f$ a.e.

Supongamos que $f:\mathbb R \mapsto \mathbb R$ es integrable y $a \in \mathbb R$ . Defina $F(x) = \int_a^xf(y)\,dy$ como antiderivada de $f$ . Entonces $F$ es diferenciable en casi todas partes y $F'(x)=f(x)$ a.e.

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En segundo lugar, si $f$ es la derivada de $F$ a.e., $F$ no es necesariamente la antiderivada de $f$ . Una relación suficientemente buena se basa en funciones de variación acotada. (Pero nótese que necesitamos más condiciones para garantizar la igualdad)

Las funciones de variación acotada son diferenciables y pueden escribirse como la diferencia de dos funciones crecientes. Si $F$ es creciente, entonces $F'$ existe a.e., y $\int_a^bF'(x)\,dx \le F(b) - F(a)$ ;

Obsérvese que aquí la igualdad no está garantizada.

Ejemplo : let $F$ sea la función de Cantor-Lebesgue, entonces es diferenciable con $F'(x)= 0$ a.e., y por tanto $$1=F(1)-F(0) \color{red}> 0 = \int_0^1F'(x) \, dx $$

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Por último, he aquí una condición más estricta bajo la cual se logra la igualdad.

Si $F$ es absolutamente continua, entonces $F'$ existe a.e. y $\int_a^bF'(x)\,dx = F(b) - F(a)$ .

Se podría considerar la continua absoluta como un caso especial de variación acotada, porque se podría demostrar que si $f$ es absolutamente continua, entonces es de variación acotada.