27 votos

Intuición para $\omega^\omega$

Estoy tratando de entender el número ordinal $\omega^\omega$ y estoy teniendo dificultades. Creo que entiendo qué es $\omega^2$. Es lo que obtendría si tomara un número contable de copias de $\omega$ y ordenara el conjunto de esas copias como $\omega.$ $\omega^3$ es un poco más difícil porque ahora necesito tomar un número contable de copias de $\omega^2$ y hacer lo mismo con ellas. Entiendo que los siguientes se hacen de la misma manera, de forma recursiva. Pero entender que la definición tiene un significado no me ayuda mucho a visualizar $\omega^{10}$. Y me vuelvo completamente indefenso cuando intento decirme a mí mismo qué es $\omega^\omega$ en palabras sencillas. ¿Es posible alguna explicación que no sea solo la definición (que conozco)?

9 votos

Quizás esta imagen podría ayudar a ilustrarlo: upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e6/…

21voto

sewo Puntos 58

Considero a $\omega^n$ como el conjunto de todas las secuencias de $n$ elementos de números naturales (no solo los crecientes como en la respuesta de Andrés), ordenadas lexicográficamente.

Hay dos formas posibles de extender esta imagen a $\omega^\omega$. Una es decir que $\omega^\omega$ es el conjunto de todas las secuencias _fin_itas de números naturales, ordenadas con las secuencias más cortas primero y luego lexicográficamente entre secuencias de la misma longitud.

La otra es decir que un elemento de $\omega^\omega$ es una secuencia "infinita hacia la izquierda" $(\ldots, a_n, \ldots, a_3, a_2, a_1, a_0)$ tal que solo finitos elementos de la secuencia son distintos de cero. Estas secuencias están ordenadas lexicográficamente.

Estas secuencias "infinitas hacia la izquierda" quizás parezcan menos extrañas si las escribimos como $$ \cdots + a_nX^n + \cdots + a_3X^3+a_2X^2+a_1X + a_0 $$ es decir, son simplemente el conjunto de polinomios formales con coeficientes en $\mathbb N$. (La definición usual de "polinomio formal" se encarga del requisito de que un número finito de elementos deben ser cero).

Incluso podemos escribir $\omega$ en lugar de la variable formal $X$: $$ \cdots + \omega^n\cdot a_n + \cdots + \omega^3\cdot a_3+\omega^2\cdot a_2+ \omega \cdot a_1 + a_0 $$ y escrito de esta manera, los elementos son exactamente los ordinales reales por debajo de $\omega^\omega$. Debido a la naturaleza no conmutativa de la multiplicación ordinal, tenemos que escribir los coeficientes a la derecha del poder de $\omega$.

(Sin embargo, ten cuidado de no llevar esto demasiado lejos: las reglas usuales para sumar y multiplicar polinomios no corresponden a la suma y multiplicación ordinal).

3 votos

O puedes hacer lo que hago yo y simplemente usar el orden lexicográfico inverso en el conjunto de secuencias que eventualmente son $0$.

10voto

Frangello Puntos 21

Así es como lo visualizo. Considera este subconjunto de $[0,1]$:

$$E_1 \;\; = \;\; \left\{\frac{1}{2}, \;\; \frac{2}{3}, \;\; \frac{3}{4}, \;\; \frac{4}{5}, \;\; \frac{5}{6}, \;\; \frac{6}{7}, \;\; \ldots \right \}$$

Esto es $\omega$.

Más precisamente, cuando se ordena según el orden usual de los números reales, $E_1$ se convierte en una representación para el tipo de orden $\omega.$

Ahora considera la unión de $E_1$ y su traslado de $1$ unidad (un subconjunto de $[1,2]$), que será un subconjunto de $[0,2]$.

Esto es $\omega 2$.

Al tomar las uniones de varios traslados enteros apropiados de $E_1$, obtenemos $\omega 3, \; \omega 4, \; \omega 5, \; \ldots$

Al colocar un traslado entero de $E_1$ en el intervalo $[n, \; n+1],$ para cada entero no negativo $n,$ y tomando la unión de estos traslados contables de $E_1,$ obtenemos $\omega \omega = {\omega}^2.$

Si tomamos este último conjunto, el conjunto que representa ${\omega}^2$, y lo escalamos/traducimos en el intervalo $[0,1]$ (hazlo de una manera que preserve el orden, lo cual será el caso si usas un factor de escala positivo), tendremos una representación de ${\omega}^2$ que es un subconjunto de $[0,1].$ Llama a este último conjunto $E_2.$

La unión de $E_2$ con su traslado de $1$ será ${\omega}^2 2$.

Al tomar las uniones de varios traslados enteros apropiados de $E_2$, obtenemos ${\omega}^2 3, \; {\omega}^2 4, \; {\omega}^2 5, \; \ldots$

También puedes obtener cosas como ${\omega}^2 3 + \omega 2 + 4$ al tomar la unión de un conjunto en $[0,3]$ que representa ${\omega}^2 3$ con un conjunto en $[4,5]$ que representa $\omega$ con un conjunto en $[5,6]$ que representa $\omega$ con el conjunto $\left\{6 + \frac{1}{2}, \; 6 + \frac{2}{3}, \; 6 + \frac{3}{4}, \; 6 + \frac{4}{5} \right\}.$

Al colocar un traslado entero de $E_2$ en el intervalo $[n, \; n+1],$ para cada entero no negativo $n,$ y tomando la unión de estos traslados contables de $E_2,$ obtenemos ${\omega}^2 \omega = {\omega}^3.$

Si tomamos este último conjunto, el conjunto que representa ${\omega}^3$, y lo escalamos/traducimos en el intervalo $[0,1]$ (hazlo de una manera que preserve el orden, lo cual será el caso si usas un factor de escala positivo), tendremos una representación de ${\omega}^3$ que es un subconjunto de $[0,1].$ Llama a este último conjunto $E_3.$

Sigue así, obteniendo $E_4 \subseteq [0,1]$ que es una representación de ${\omega}^4,$ $E_5 \subseteq [0,1]$ que es una representación de ${\omega}^5,$ $E_6 \subseteq [0,1]$ que es una representación de ${\omega}^6, \; \ldots$

Entonces, ${\omega}^{\omega}$ puede ser representado por

$$ E_1 \; \cup \; \left(E_2 + 1 \right) \; \cup \; \left(E_3 + 2 \right)\; \cup \; \left(E_4 + 3 \right)\; \cup \; \left(E_5 + 4 \right) \; \cup \; \ldots,$$

donde $E_{n+1} + n$ representa el $n$-traslado de $E_{n+1}$ para $n = 1, \; 2, \; 3, \; \ldots$

0 votos

"La unión de $E_2$ con su $1$-traslado será $2 {\omega}^2$. ¡AY! Bueno, no voy a editar mi respuesta cambiando solo it's a its, pero este comentario es para recordarme que haga el cambio en caso de que en algún momento haga una edición más sustancial en esta respuesta.

2 votos

Cuando hago esta construcción, me gusta señalar que una buena forma de escalar la línea positiva en el intervalo unitario es a través del mapa $x\mapsto \frac{x}{x+1}$, el cual conserva el orden, como se desea. En una nota personal, ¡realmente amo esta construcción! :) +1

6voto

freespace Puntos 9024

Esta es una visualización que me gusta. Imagina una estructura de árbol en la siguiente imagen: comienzas en la raíz y en cada nodo tienes infinitas ramas (puedes numerarlas con números naturales).

Ordenamos todos los nodos de izquierda a derecha y en cada capa de abajo hacia arriba. (Los nodos se pueden identificar con secuencias finitas de números naturales. Por lo tanto, nuestro ordenamiento es tal que si alguna secuencia es más larga, será la más grande, y si dos secuencias son de la misma longitud, entonces vemos la primera posición en la que difieren. Vemos que este es uno de los ordenamientos mencionados en la publicación de Henning Makholm). Este ordenamiento es bastante similar al orden lexicográfico y la verificación de que obtenemos un conjunto bien ordenado es similar a la del orden lexicográfico.

omega^omega

Observa que si nos detenemos después de la primera columna, simplemente obtenemos $\omega$. Si tomamos las dos primeras columnas, obtenemos $\omega^2$ (ya que $\omega+\omega^2=\omega^2$). Entonces, el ordinal de todo el conjunto es ciertamente al menos $\omega=\sup\limits_{n<\omega}\omega^n$. Pero este conjunto es precisamente la unión de los segmentos, que consisten en las columnas iniciales $n$, por lo que es precisamente igual a $\sup\limits_{n<\omega}\omega^n=\bigcup\limits_{n<\omega}\omega^n$.

5voto

Greg Case Puntos 10300

Esto puede ayudar:

Uno puede identificar $\omega^2$ con el conjunto de subconjuntos de $\omega$ de tamaño $2$ o, equivalentemente, con el conjunto de secuencias crecientes de longitud $2$ (ordenadas lexicográficamente), y $\omega^3$ con el conjunto de subconjuntos de $\omega$ de tamaño $3$ o, equivalentemente, con el conjunto de secuencias crecientes de longitud $3$, etc. Y entonces $\omega^\omega$ se identifica con el conjunto de todos los subconjuntos finitos de $\omega$ o, equivalentemente, con el conjunto de todas las secuencias finitas crecientes de números, donde la secuencia más larga de dos secuencias de diferente longitud va al final.

(Ahora, podemos identificar secuencias finitas con números. Por ejemplo, podemos asociar a la secuencia $(2,6,20)$ el número $2^2\, 3^6\, 5^{20}$. Esto nos da una representación explícita de $\omega^\omega$ como un conjunto de números naturales, lo que puede hacer más fácil visualizarlo.)

Nota que usar secuencias crecientes (o equivalente, conjuntos finitos) en lugar de todas las secuencias no hace diferencia. Pero hay ventajas en ciertos contextos, por ejemplo, en el cálculo de particiones de ordinales pequeños contables, es útil considerar conjuntos finitos de naturales (o secuencias crecientes) en lugar de elementos de $\omega^\omega$.

Primero mencioné una versión corta de esta respuesta como un comentario en una publicación de John Baez en Google+. John tiene una serie de publicaciones que llama "Bigness" destinada a ilustrar un segmento inicial "grande" de los ordinales. Puede resultarte útil (y como es usual con John, entretenido).

0 votos

Esta representación es algo engañosa, sin embargo, porque no preserva el orden de los números.

1 votos

(Obviamente, ninguna representación en números va a conservar el orden de los números.)

0 votos

El mapa $a + b \omega \mapsto (1 - 2^{-a}) + b$ es preservador del orden en $\omega^2$. Según recuerdo, cada ordinal contable tiene una inyección preservadora del orden en $\mathbb{Q}$.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X