Así es como lo visualizo. Considera este subconjunto de $[0,1]$:
$$E_1 \;\; = \;\; \left\{\frac{1}{2}, \;\; \frac{2}{3}, \;\; \frac{3}{4}, \;\; \frac{4}{5}, \;\; \frac{5}{6}, \;\; \frac{6}{7}, \;\; \ldots \right \}$$
Esto es $\omega$.
Más precisamente, cuando se ordena según el orden usual de los números reales, $E_1$ se convierte en una representación para el tipo de orden $\omega.$
Ahora considera la unión de $E_1$ y su traslado de $1$ unidad (un subconjunto de $[1,2]$), que será un subconjunto de $[0,2]$.
Esto es $\omega 2$.
Al tomar las uniones de varios traslados enteros apropiados de $E_1$, obtenemos $\omega 3, \; \omega 4, \; \omega 5, \; \ldots$
Al colocar un traslado entero de $E_1$ en el intervalo $[n, \; n+1],$ para cada entero no negativo $n,$ y tomando la unión de estos traslados contables de $E_1,$ obtenemos $\omega \omega = {\omega}^2.$
Si tomamos este último conjunto, el conjunto que representa ${\omega}^2$, y lo escalamos/traducimos en el intervalo $[0,1]$ (hazlo de una manera que preserve el orden, lo cual será el caso si usas un factor de escala positivo), tendremos una representación de ${\omega}^2$ que es un subconjunto de $[0,1].$ Llama a este último conjunto $E_2.$
La unión de $E_2$ con su traslado de $1$ será ${\omega}^2 2$.
Al tomar las uniones de varios traslados enteros apropiados de $E_2$, obtenemos ${\omega}^2 3, \; {\omega}^2 4, \; {\omega}^2 5, \; \ldots$
También puedes obtener cosas como ${\omega}^2 3 + \omega 2 + 4$ al tomar la unión de un conjunto en $[0,3]$ que representa ${\omega}^2 3$ con un conjunto en $[4,5]$ que representa $\omega$ con un conjunto en $[5,6]$ que representa $\omega$ con el conjunto $\left\{6 + \frac{1}{2}, \; 6 + \frac{2}{3}, \; 6 + \frac{3}{4}, \; 6 + \frac{4}{5} \right\}.$
Al colocar un traslado entero de $E_2$ en el intervalo $[n, \; n+1],$ para cada entero no negativo $n,$ y tomando la unión de estos traslados contables de $E_2,$ obtenemos ${\omega}^2 \omega = {\omega}^3.$
Si tomamos este último conjunto, el conjunto que representa ${\omega}^3$, y lo escalamos/traducimos en el intervalo $[0,1]$ (hazlo de una manera que preserve el orden, lo cual será el caso si usas un factor de escala positivo), tendremos una representación de ${\omega}^3$ que es un subconjunto de $[0,1].$ Llama a este último conjunto $E_3.$
Sigue así, obteniendo $E_4 \subseteq [0,1]$ que es una representación de ${\omega}^4,$ $E_5 \subseteq [0,1]$ que es una representación de ${\omega}^5,$ $E_6 \subseteq [0,1]$ que es una representación de ${\omega}^6, \; \ldots$
Entonces, ${\omega}^{\omega}$ puede ser representado por
$$ E_1 \; \cup \; \left(E_2 + 1 \right) \; \cup \; \left(E_3 + 2 \right)\; \cup \; \left(E_4 + 3 \right)\; \cup \; \left(E_5 + 4 \right) \; \cup \; \ldots,$$
donde $E_{n+1} + n$ representa el $n$-traslado de $E_{n+1}$ para $n = 1, \; 2, \; 3, \; \ldots$
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Quizás esta imagen podría ayudar a ilustrarlo: upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e6/…