Hace$2^n-1$ divide$1+2^{2i}$?

Question

Sea$2^n-1$ un número primo. Si$1<i<n$, necesito probar que$2^n-1$ no divide$1+2^{{2i}}$. Cualquier comentario sería apreciado.

Answer 1

Lo siguiente demuestra más de lo que quieres.

Lema Si$n>1$ es impar y$m=2^n-1$ y$i$ es un entero positivo entonces$m\not\mid 1+2^{2i}$.

Prueba . Si$m\mid 1+2^{2i}$ entonces modulo$m$ tenemos $ 2 ^ {2i} \ equiv-1 \ quad \ Rightarrow \ quad 2 ^ {2in} \ equiv (-1) ^ n \ quad \ Rightarrow \ quad (2 ^ n) ^ {2i} \ equiv-1 \ quad \ Rightarrow \ quad 1 \ equiv-1 $$ que no es cierto.

También es fácil comprobar que la conclusión es verdadera para$n=2$.

Answer 2

Puede demostrar de forma más general que si$n$ es cualquier entero mayor que$2$, entonces$2^n-1$ no divide$2^m+1$ para ningún$m$.

Si$n\gt2$, es claramente el caso de que$2^n-1$ no divide$2^m+1$ para$m\lt n$, ya que$2^n-1\gt2^m+1$.

Ahora considere el$m$ más pequeño tal que$2^n-1$ divide$2^m+1$. Entonces$2^n-1$ también divide$2^m+1+2^n-1=2^n(2^{m-n}+1)$, lo que contradice la mínima de$m$. Así no existe tal$m$.

Para$n=2$, es fácil ver que$3\mid2^m+1$ si y sólo si$m$ es impar.