¿Cómo probar esta identidad combinatoria?

Question

Me pregunto cómo probar la siguiente identidad:$$\sum_{i=0}^{n-r} \frac{2^i (r+i) \binom{n-r}{i}}{(i+1) \binom{2n-r}{i+1}}=1?$ $

Parece que esto podría estar relacionado con la distribución hipergeométrica, pero no podía convertir esa forma de nuevo en forma de distribución hipergeométrica.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \begin{align} \frac{2^i(r+i)\binom{n-r}{i}}{(i+1) \binom{2n-r}{i+1}} &=\frac{2^i(r+i)}{n}\frac{\binom{2n-r-i-1}{n-1}}{\binom{2n-r}{n}}\tag{1}\\ &=\frac{2^i}{n}\frac{2n\binom{2n-r-i-1}{n-1}-n\binom{2n-r-i}{n}}{\binom{2n-r}{n}}\tag{2}\\ &=\frac{2^{i+1}\binom{2n-r-i-1}{n-1}-2^i\binom{2n-r-i}{n}}{\binom{2n-r}{n}}\tag{3} \end {align} $$

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$(1)\quad$ distribuir $\frac1{i+1}\frac{\color{#C00000}{(n-r)!}}{i!\color{#C00000}{(n-r-i)!}}\frac{(i+1)!\color{#00A000}{(2n-r-i-1)!}}{\color{#00A000}{(2n-r)!}}=\frac1n\frac{n!\color{#C00000}{(n-r)!}}{\color{#00A000}{(2n-r)!}}\frac{\color{#00A000}{(2n-r-i-1)!}}{(n-1)!\color{#C00000}{(n-r-i)!}}$

A continuación, tenemos $$ \begin{array}{l}(2n-r-i)\binom{2n-r-i-1}{n-1}=n\binom{2n-r-i}{n}\\ \Rightarrow(r+i)\binom{2n-r-i-1}{n-1}=2n\binom{2n-r-i-1}{n-1}-n\binom{2n-r-i}{n}\end {align} $$ Aplicando$(2)\quad$ a la suma de$(3)\quad$, llegamos a una buena suma telescópica: $$ \begin{align} \sum_{k=0}^{n-m}\binom{n-k}{m}2^k &=\sum_{k=0}^{n-m}\sum_{j=0}^k\binom{n-k}{m}\binom{k}{j}\\ &=\sum_{j=0}^{n-m}\binom{n+1}{m+j+1}\tag{4} \end {align} $$