Ejercicio de teoría de grupos: prueba de que $b^2 = e$ si $|a|$ es impar y $b = a^{-1}b^{-1}a$

Question

Por favor, ¿podría alguien ayudarme con el último paso de este ejercicio?

Me he quedado atascado. El ejercicio es el siguiente:

Sea $a,b$ sean dos elementos de un grupo tales que $a$ tiene orden de impar y $b = a^{-1}b^{-1}a$ . Demuestre que $b^2 = e$ .

Lo que probé:

En primer lugar, supongamos que $|a|=2n + 1$ para algunos $n$ . Para demostrar la afirmación se puede demostrar $b=b^{-1}$ . Intentemos esto:

$$ b = a^{(2n + 1)}ba^{-(2n + 1)} = a^{2n}b^{-1}a^{-2n} = a^{-1}b^{-1}a$$

Pero esto es igual que la suposición.

Siento que estoy así de cerca pero me falta algo.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$b^{-1}=(a^{-1}b^{-1}a)^{-1}=a^{-1}ba.$$ Usted debe continuar su argumento, matando a uno $a$ a la vez: $$\begin{aligned}b&=a^{(-2n+1)}ba^{(2n+1)} \\&=a^{-2n}b^{-1}a^{2n}\\&=a^{-(2n-1)}ba^{(2n-1)}\\ &=\cdots\\ &=a^{-0}b^{-1}a^{0}=b^{-1}.\end{aligned}$$

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Otro argumento basado en el grupo de automorfismo:

La conjugación $c_a(g)=a^{-1}ga$ es un automorfismo de $\langle b\rangle$ . Obviamente $(c_a)^{2n+1}=c_{a^{2n+1}}=id$ donde $2n+1$ es el orden de $a$ .

Por otra parte $c_a(b)=b^{-1}$ Así que $(c_a)^2$ es la identidad en $\langle b\rangle$ .

Así, el $\langle b\rangle$ , $c_a=(c_a)^{2n+1}$ es también el homeomorfismo de identidad.

Answer 2

Reescriba la relación como $a=bab$ . Sustitúyalo por sí mismo y obtendrá $a=b^kab^k=bab$ para todos $k\ge 1$ .

Ahora, supongamos $|a|=2n+1$ y $|b|=m$ . Tenemos $$e=a^{2n+1}=\underbrace{(bab)(bab)\cdots (bab)}_{2n+1}=$$ $$=(bab)(b^{m-1}ab^{m-1})(bab)(b^{m-1}ab^{m-1})(bab)\cdots (b^{m-1}ab^{m-1})(bab)=ba^{2n+1}b=b^2$$ Tenga en cuenta que necesitamos $|a|$ ser impar porque es sólo cada dos $bab$ término en el que nos estamos convirtiendo $b^{m-1}ab^{m-1}$ .

Answer 3

En primer lugar, observe que : $b = a^{-1}b^{-1}a \Leftrightarrow a = bab .$

Así

$$ba = babb^{-1} = ab^{-1}.$$

y

$$ ab = b^{-1}bab = b^{-1}a = a^{-1}ab^{-1}a = a^{-1}baa = a^{-1}ba^2.$$

Sea $|a| = 2n+1$ entonces

$$ b = a^{2n+1} b = a^{2n}(ab) = a^{2n}a^{-1}ba^2 = a^{2n-1}ba^2 = \cdots = aba^{2n} = b^{-1}baba^{2n} = b^{-1}a^{2n+1} = b^{-1}$$

lo que significa

$$ b^2 = e .$$

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Una forma más sencilla:

En primer lugar, observe que : $b = a^{-1}b^{-1}a \Leftrightarrow a = bab .$

Así $$ a^2 b^{-1} = a(bab)b^{-1} = aba = b^{-1}baba = b^{-1}(bab)a = b^{-1}a^2. $$

Así que $b^{-1}$ viajar con $a^2$ lo que significa que $b$ conmuta con $a^{-2}$ por lo tanto todos $a^{-2k}$ con $k\in \mathbb{N}$ .

Sea $|a| = 2n + 1$ entonces $a = a^{-2n}$ . Así que $b$ conmuta con $a$ . Así que

$$a = bab = ab^2 $$

y finalmente

$$ b^2 = e.$$

Answer 4

$b=a^{-1}b^{-1}a$ (es decir $a^{-1}ba=b^{-1}$ ), conjugado por $a$ ambos lados: $$a^{-1}ba=a^{-2}b^{-1}a^2 \Longrightarrow b^{-1}=a^{-2}b^{-1}a^2.$$ Así que $a^2$ conmuta con $b^{-1}$ Por lo tanto $\langle a^2\rangle=\langle a\rangle$ conmuta con $b^{-1}$ (ya que $2\nmid o(a)$ ).

Entonces, ¿qué implica esto si $a$ conmuta con $b^{-1}$ en su pregunta?

Answer 5

Tiene razón al partir de la base de que $a$ tiene orden $2n+1$ ahora puede utilizar el hecho de que si $b = a^{-1} b^{-1}a$ luego, invirtiendo ambos lados, $b^{-1} = a^{-1} b a$ . Ahora tiene que $$b = ebe = a^{-(2n+1)}ba^{(2n+1)} = a^{-2n}b^{-1}a^{2n} = \cdots = b^{(-1)^{2n+1}} = b^{-1}.$$ Tu argumento es bueno, pero falta esta repetición de la conjugación por $a$ para utilizar la paridad impar.