Subconjunto más grande sin progresiones aritméticas

Question

Sea$A=\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ un conjunto de$n$ números reales distintos. Mostrar que existe un conjunto$B\subset A$ tal que$|B|\geq\lfloor\sqrt{2n}+\frac12\rfloor$ y no$3$ elementos distintos de$B$ constituyen una progresión aritmética.

No tengo ni idea de cómo abordar este problema, con su fórmula de aspecto extraño. Ya lo he publicado en AoPS, pero no hay respuesta.

Answer 1

Esto es mucho más débil:

Llame a un subconjunto de$A$ bueno si no tiene$3$ - progresión aritmética del elemento.

Sea$X$ un subconjunto bueno máximo de$A$ y deje$m=|X|$, entonces para cada otro punto$x\in A\setminus X$ hay un subconjunto de dos elementos$\{a,b\}\subseteq X$ % #% Y$x,a$ forman una progresión en algún orden.

Observe que cada subconjunto puede formar una progresión con como máximo$b$ otros puntos.

Asi que $3$