Cálculo de la primitiva $\int\frac{1}{1+x^n} dx$

Question

Bueno, esta puede ser una muy simple. Pero aún así... ¿Cuál será la solución a --- \begin{aligned} \int\frac{1}{1+x^n} dx \end{aligned}

Es sustituir \begin{aligned} 1+x^n \end{aligned} por tan z el paso correcto?

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Lo que sigue es una traducción esencialmente inédita a LaTex de un 28 de octubre de 2006, post de sci.math de la mía.

La factorización y la descomposición de la fracción parcial de $\frac{1}{x^n + 1}$ fue realizado esencialmente por Roger Cotes (1682-1716), aunque expresó sus resultados de una manera geométrica que dificulta la interpretación por parte de alguien no familiarizado con la noción de su época.

$$ \text{EVALUATION OF} \;\; \int \frac{dx}{x^4 + 1} $$

Hay varios textos de cálculo elemental que incluyen como ejercicio la evaluación de $\int \frac{dx}{x^4 + 1},$ pero no son muchos los textos que lo incluyen como uno de sus ejemplos trabajados. Puedes encontrar esta integral como ejemplo trabajado en Courant/John [4] (pp. 289-290), Federer/Jonsson [7] (pp. 609-610) [El ejemplo trabajado de Federer/Jonsson es en realidad $\int \frac{x^3 + x^2 + 6}{x^4 + 36}dx,$ pero los detalles esenciales son los mismos], Hairer/Wanner [9] (p. 120), y Peters [14] (pp. 99-100). El texto de cálculo avanzado Taylor/Mann [18] (Sección 22.6, Ejercicio 9, p. 736) pide al lector que evalúe esta integral "expresando el integrando en términos de fracciones parciales con denominadores cuadráticos" y la antiderivada resultante se da en el texto.

$$ \text{EVALUATION OF} \;\; \int \frac{dx}{x^5 + 1} $$

Edwards [6] (Ejercicio #14(iv), p. 163) pide la evaluación de $\int \frac{dx}{x^5 + 1}.$ Edwards menciona que esta integral apareció en un examen del Cambridge College de 1891. La respuesta se da en la p. 887. Sin embargo, la respuesta se expresa en términos de $\cos{\frac{\pi}{5}}$ y $\cos{\frac{3\pi}{5}}.$ Edwards [6] (Ejercicio nº 42, p. 167) pide al lector que demuestre que $\int_{0}^{\infty} \frac{x}{x^5 + 1}dx \; = \; \frac{4 \pi}{5 \sqrt{10} \; + \; 2 \sqrt{5}}.$

$$ \text{EVALUATION OF} \;\; \int \frac{dx}{x^6 + 1} $$

Courant/John [4] (Ejercicio 1, p. 321) y Spivak [17] (Sección 19, Ejercicio #7(x), p. 381) pedir la evaluación de $\int \frac{dx}{x^6 + 1}$ (ninguno de los dos da la respuesta). Edwards [6] (Ejercicio nº 15, p. 163) pide al lector que demuestre que $\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^6 + 1} = \frac{\pi}{3}.$ [Edwards menciona que esta integral apareció en un documento de examen del St. John's College de 1881]. Federer/Jonsson [7] (Ejercicio #1(t), p. 616) da una integral a evaluar cuyo denominador es $x^6 + 1$ (no se responde). Vallee Poussin [20] (Ejercicio 1, 4ª integral, p. 189) pide al lector que evalúe $\int \frac{dx}{2 - x^6}$ (la respuesta está dada).

$$ \text{FACTORING} \;\; x^n + 1 $$

Las factorizaciones de $x^n + 1$ para $n$ tanto pares como Impares en factores lineales y cuadráticos irreducibles haciendo uso de la función coseno se dan en Archbold [1] (Ejemplo 1, p. 154) y Mostowski/Stark [12] (Ejercicio 1, p. 278). Las mismas factorizaciones de $x^n + 1$ se derivan utilizando la fórmula de De Moivre en Durell/Robson [5] (p. 220, ecuaciones 3 y 4). Hobson [10] (pp. 117-119, ecuaciones 26 y 27) ofrece una derivación sin utilizar la fórmula de De Moivre (debida a Norman MaCleod Ferrers en Mensajero de las matemáticas volumen 5) y Hobson [10] (Ejemplo 2, pp. 239-240) da una derivación que hace uso de la fórmula de De Moivre. Factorizaciones de $x^n + a^n$ para $n$ tanto Even como impar se dan en Tignol [19] (p. 100, ecuaciones 3 y 4; véanse también las pp. 108-109, 125). Tignol [19] también ofrece una discusión detallada del desarrollo histórico y la importancia de estas factorizaciones en el capítulo 7 (pp. 97-107). Durell/Robson [5] (p. 226), Hobson [10] (punto 3, p. 240), y Jack [11] dan factorizaciones de $x^{2n} - 2x^{n}\cos{\theta} + 1$ en $n$ polinomios cuadráticos. Sustituyendo $x$ con $\frac{x}{a},$ este último resultado nos permite factorizar $x^{2n} - 2a^{n}x^{n}\cos{\theta} + a^{2n}.$ Las factorizaciones en las que $\cos{\theta}$ es un parámetro puede utilizarse para obtener expresiones útiles de productos finitos para $\sin{n\theta}$ y $\cos{n\theta},$ y otras identidades.

$$ \text{PARTIAL FRACTION EXPANSIONS OF} \;\; \frac{1}{x^n + 1} $$

Las expansiones parciales de fracción de $\frac{1}{x^n + 1}$ para $n$ Tanto Even como impar aparecen en Barnard/Child [2] (Ejercicio nº 21, p. 305) (se dan las respuestas, pero no una solución detallada). La expansión de la fracción parcial de $\frac{1}{x^n + 1}$ para $n$ incluso aparece en Durell/Robson [5] (Ejercicio nº 11, p. 236) (se da la respuesta, pero no una solución detallada). Hobson [10] (pp. 241-242) deriva las descomposiciones de fracciones parciales de $\frac{x^{m-1}}{x^n + 1}$ para $n$ tanto pares como Impares, y para $m = 1,$ $2,\,\ldots,$ $n-1$ (utilizar $m=1$ para obtener la expansión para $\frac{1}{x^n + 1}).$ Edwards [6] (Sección 166, pp. 158-159) deriva la expansión de la fracción parcial y la antiderivada de $\frac{x^m}{x^{2n} \; - \; 2a^{n}x^{n}\cos{n\theta} \; + \; a^{2n}}$ para los enteros $m,\,n$ con $0 \leq m < 2n.$ [Al elegir $a=1$ y $m=0$ y el ángulo $\theta$ para que $\cos{n\theta} = 0,$ obtenemos la expansión de la fracción parcial y la antiderivada de $\frac{1}{x^n + 1}$ para $n$ incluso].

$$ \text{EVALUATION OF} \;\; \int \frac{dx}{x^n + 1} $$

Gopalan/Ravichandran [8] empezar mencionando $\int \frac{dx}{x^n + 1}$ se evalúa explícitamente para $n=1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $8,$ y $10$ en Ramanujan [15] (la única referencia de su documento). Estas evaluaciones de Ramanujan también se citan en Berndt [3] . En un intento de evaluar esta integral para todos los enteros positivos $n$ (aparentemente no estaban al tanto de los resultados anteriores), pudieron efectuar una evaluación para cualquier $n$ que es un poder de $2.$ Ver Ravichandran [16] para obtener más detalles sobre esta descomposición.

Palagallo/Price [13] empezar mencionando los resultados de Gopalan/Ravichandran [8] y Ramanujan [15] . A continuación, muestran cómo evaluar $\int \frac{dx}{x^n + 1}$ donde $n$ es cualquier número racional positivo. Lo hacen evaluando primero $\int \frac{dx}{x^n + 1}$ para números enteros positivos n (utilizando el Teorema de De Moivre y empleando la función coseno para expresar los coeficientes que surgen) y luego haciendo un cambio de variables apropiado para reducir la $n = \frac{p}{q}$ al caso de los enteros positivos. Este tipo más general, donde $n$ es un número racional positivo, es un caso especial de un tipo de integral aún más general -- la integral binomial. Nota: El cambio de variables que Palagallo/Price [13] emplear es una técnica estándar para evaluar ciertos tipos de integrales binomiales. Las integrales binomiales no se mencionan en su artículo, y sus únicas referencias son Gopalan/Ravichandran [8] y Ramanujan [15] .

Edwards [6] (Ejercicio #40, p. 167) pide la evaluación de $\int \frac{x^{p-1}}{x^n + a^n}dx$ para $p - 1 < n$ y la respuesta se da para ambos $n$ incluso y $n$ impar. (Creo que $p$ debe ser un número entero mayor o igual a $1.)$ Taylor/Mann [18] (Ejercicio 11, p. 740) pide al lector que demuestre que si $a > 1,$ entonces $\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{1 + x^a} \; = \; \frac{\pi}{a}\csc {\frac{\pi}{a}}.$

[1] John W. Archbold, Álgebra Sir Isaac Pitman & Sons, 1958.

[2] Samuel Barnard y James M. Child, Álgebra superior MacMillian, 1960.

[3] Bruce C. Berndt, Cuadernos de Ramanujan , Revista de matemáticas 51 (1978), 147-164.

[4] Richard Courant y Fritz John, Introducción al cálculo y al análisis Volumen I, Interscience Publishers, 1965.

[5] Clement V. Durell y Alan Robson, Trigonometría avanzada , Dover Publications, 1930/2003.

[6] Joseph W. Edwards, Tratado sobre el cálculo integral Volumen I, Chelsea, 1930/1954.

[7] Herbert Federer y Bjarni Jonsson, Geometría analítica y cálculo Ronald Press, 1961.

[8] M. A. Gopalan y V. Ravichandran, Nota sobre la evaluación de $\int \frac{1}{1 + t^{2^n}}dt,$ Revista de matemáticas 67 (1994), 53-54.

[9] Ernst Hairer y Gerhard Wanner, Análisis por su historia Springer-Verlag, 1996.

[10] Ernest W. Hobson, Tratado de trigonometría plana y avanzada , 7ª edición, Dover Publications, 1928/1957.

[11] John Jack, La factorización de $1 - 2x^{n}\cos {\alpha} + x^{2n},$ Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo 15 (1897), 97.

[12] Andrzej W. Mostowski y Marceli Stark, Introducción al Álgebra Superior Pergamon Press, 1964.

[13] Judith A. Palagallo y Thomas E. Price, Algunas observaciones sobre la evaluación de $\int \frac{dt}{t^m + 1},$ Revista de matemáticas 70 (1997), 59-63.

[14] J. Matthew H. Peters, Algunas series numéricas de $\int \frac{dx}{1 + x^n},$ Gaceta Matemática 67 #440 (junio de 1983), 95-101.

[15] Srinivasa Ramanujan, Cuadernos de Srinivasa Ramanujan Vol. 2, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1957.

[16] V. Ravichandran, Sobre una serie considerada por Srinivasa Ramanujan , Gaceta Matemática 88 #511 (marzo de 2004), 105-110.

[17] Michael Spivak, Cálculo , 3ª edición, Publish or Perish, 1994.

[18] Angus E. Taylor y W. Robert Mann, Cálculo avanzado 2ª edición, Xerox College Publishing, 1972.

[19] Jean-Pierre Tignol, Teoría de las ecuaciones algebraicas de Galois , World Scientific Publishing Company, 2001.

[20] Charles Jean Vallee Poussin, Curso de análisis infinitesimal Volumen I, 12ª edición, Gauthier-Villars y Librairie Universitaire (Lovaina), 1959.

Answer 2

He aquí una aproximación. Se puede obtener una bonita forma cerrada en términos de la función hipergeométrica

$$I = \int\frac{1}{1+x^n} dx = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \int x^{kn} dx= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{nk+1}}{kn+1} + c $$

$$ \implies I = x\,{\mbox{$ _2 $F$ _1 $}(1,{n}^{-1};\,1+{n}^{-1};\,-{x}^{n})}+c.$$

Answer 3

Dejemos que $f(x)=\frac{1}{x^n+1}$ . Obsérvese que podemos escribir

$$f(x)=\prod_{k=1}^n(x-x_k)^{-1} \tag {1}$$

donde $x_k=e^{i(2k-1)\pi/n}$ , $k=1, \cdots,n$ .

También podemos expresar $(1)$ como

$$f(x)=\sum_{k=1}^na_k(x-x_k)^{-1} \tag {2}$$

donde $a_k=\frac{-x_k}{n}$ .

Ahora, podemos escribir

$$\begin{align} \int\frac{1}{x^n+1}dx=-\frac1n\sum_{k=1}^nx_k\log(x-x_k)+C \end{align}$$

que puede escribirse más explícitamente como

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\int\frac{1}{x^n+1}dx=-\frac1n\sum_{k=1}^n\left(\frac12 x_{kr}\log(x^2-2x_{kr}x+1)-x_{ki}\arctan\left(\frac{x-x_{kr}}{x_{ki}}\right)\right)+C'} $$

donde $x_{kr}$ y $x_{ki}$ son las partes real e imaginaria de $x_k$ respectivamente, y vienen dadas por

$$x_{kr}=\text{Re}\left(x_k\right)=\cos \left(\frac{(2k-1)\pi}{n}\right)$$

$$x_{ki}=\text{Im}\left(x_k\right)=\sin \left(\frac{(2k-1)\pi}{n}\right)$$

NOTA :

Aquí, derivamos la forma $a_k=-\frac{x_k}{n}$ . Para ello, utilizamos $(2)$ y observar que

$$\begin{align} \lim_{x\to x_\ell}\left((x-x_{\ell})\sum_{k=1}^{n}a_k(x-x_k)^{-1}\right)&=\lim_{x\to x_\ell}\left((x-x_{\ell})\frac{1}{1+x^n}\right) \tag 3 \end{align}$$

El lado izquierdo de $(3)$ es simplemente $a_{\ell}$ . Para el lado derecho, la aplicación directa de la regla de L'Hospital da como resultado

$$\begin{align} \lim_{x\to x_\ell}\left(\frac{(x-x_{\ell})}{1+x^n}\right)&=\frac{1}{nx_{\ell}^{n-1}} \end{align}$$

Por último, observamos que como $x_{\ell}^n=-1$ entonces

$$\begin{align} \frac{1}{nx_{\ell}^{n-1}}&=\frac{x_{\ell}}{nx_{\ell}^n}\\\\ &=-\frac{x_{\ell}}{n} \end{align}$$

Así, tenemos que

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{a_{k}=-\frac{x_k}{n}}$$