Demuestra que no puedes meter una caja más cara en una más barata

Question

Supongamos que quieres enviar un paquete (una caja (un ortoedro)). La empresa de transporte le dice que el precio del paquete será la suma de las dimensiones de la caja, es decir, si tiene lados $a \times b \times c$ entonces costará $a+b+c$ $ para enviar. Demuestra que no puedes meter una caja más cara en una más barata.

NOTA : He probado algunos enfoques diferentes y creo que tengo una prueba para el caso plano, aunque bastante complicada, pero que debería ser adaptable al caso 3D. Lo que busco (sobre todo) son soluciones elegantes o ideas que no impliquen muchos cálculos / trucos de análisis.

NOTA 2 : Sin embargo, es fácil demostrar que se puede conseguir un mejor precio para su envío con varios paquetes. Este no es el caso aquí, sólo consideramos exactamente una caja interior.

Answer 1

Este es un viejo problema. Dejemos que $B$ sea una caja, y definir, para $r>0$ , el $r$ -Vecindario $B^{(r)}$ para ser el conjunto de puntos de distancia euclidiana como máximo $r$ de $B$ . Si $B_1\subseteq B_2$ entonces $B_1^{(r)}\subseteq B_2^{(r)}$ . Ahora considere los volúmenes de la $B_i^{(r)}$ como $r\to\infty$ .