¿Por qué campos de Grassmann nunca clásico?

Question

Veo esta afirmación en muchos libros QFT (e.g. Altland & Simons teoría de campo de materia condensada), pero el autor nunca explica por qué.

¿Puedes explicar brevemente por qué campos de Grassmann nunca tienen un significado clásico (discusiones físicas preferentemente) y posiblemente señalar algunas buenas referencias?

Answer 1

Bueno, depende de lo que se entiende por la palabra clásico.

1. Por lo general en la física, la clásica de las teorías de la media de teorías donde la constante de Planck $\hbar$ es cero. Si eso es lo que se quiere decir, entonces ciertamente existen clásica Grassmann-impar de variables/fermiones y una (en ese sentido) noción clásica de supermanifolds. Ver, por ejemplo, este Phys.SE post.

2. Lo que los autores pueden consultar la extraña naturaleza de Grassmann-impar variables. Ejemplos:

   • No es posible medir físicamente un Grassmann-impar variable en algunos detector.

   • No es no trivial de la topología en Grassmann-direcciones extrañas.

   • No es posible definir un definitivo Berezin integral en un subconjunto.

   • Véase también por ejemplo, este Phys.SE post.

Answer 2

Permítanme poner las cosas en una perspectiva más amplia. Bosonic campos son cuantificadas en términos de los conmutadores con un prefactor $\hbar$. Límite clásico conduce a desplazamientos de variables que pueden ser representados por números complejos. Esta es la forma en que el primer paso para diseñar aplicaciones numéricas de las integrales de camino. Fermionic campos requieren anticommutators ( considerar 4d para concentrarse y evitar las especiales características de la baja dimensión ) y formal $\hbar\to 0$ da álgebra de Grassmann, dicen, $\{\theta_i, \theta_j\}=0$ y estas variables no pueden ser representados como números complejos ( solo tome $i=j$) en cualquier forma sencilla.

Answer 3

Me han propuesto una interpretación clásica para un par de fermiones de Dirac en arxiv:0908.0591. Es un entramado versión, sólo funciona para una pareja, no solo un fermión, requiere de una preferido marco, y el operador de Hamilton para la clásica $\mathbb{Z}_2$valores de campo es sólo una aproximación de la celosía de operador de Dirac.

El $\mathbb{Z}_2$valores de campo puede ser fácilmente integrado en un $\mathbb{R}$valores de campo con degenerado vacío, lo que daría un enorme campo escalar para cada par de fermiones de Dirac.