En primer lugar tendremos un hecho general sobre el producto interior de los espacios. Supongamos que $u$, $v$, $w$ elementos del interior de un espacio del producto, la satisfacción de las tres desigualdades
$$
\etiqueta{$1$}
\|u\|\geq \|v+w\|,\,\,\,\, \|v\|\geq \|u+w\|,\,\,\, \|w\|\geq \|u+v\|.
$$
Luego de ello se sigue que $u+v+w=0$. Para ver esto, escriba $s=u+w+v$. En términos de $s$, las desigualdades pueden ser escritos (resp.)
$$
\mathrm{Re}\, \langle s,2u-s\rangle\geq 0,\,\,\,\, \mathrm{Re}\, \langle s,2v-s\rangle\geq 0,\,\,\,\, \mathrm{Re}\, \langle s,2w-s\rangle\geq 0.
$$
La suma de estas desigualdades para obtener $\mathrm{Re}\, \langle s,-s\rangle\geq 0$, lo que implica $s=0$.
También necesitaremos un hecho acerca de $f$. En su desigualdad, tome $x=y=0$ encontrar $f(0)=0$, y tome $y=-x$ encontrar $f(-x)=-f(x)$, por lo que también se $\|f(-x)\|=\|f(x)\|$.
Ahora, para arbitrario $x$, $y\in G$, conjunto $u=f(x)$, $v=f(y)$, y $w=-f(x+y)=f(-(x+y))$. Para la elección de este $u$, $v$, $w$, las tres desigualdades $(1)$ viene de la funcional de la desigualdad de la $f$ a través de las sustituciones (resp.)
$$
\begin{eqnarray*}
&x&\mapsto y,\,\,\,&y&\mapsto -(x+y),\\
&x&\mapsto-(x+y),\,\,\,&y&\mapsto x,\\
&x&\mapsto x\,\,\,&y&\mapsto y.
\end{eqnarray*}
$$
Llegamos a la conclusión de que $u+v+w=f(x)+f(y)-f(x+y)=0$.
