He intentado esto es un par de maneras diferentes y tienen diferentes respuestas.
$\sin(\pi/2+i\ln2)=\cos(i\ln2)=\cosh(\ln2)=\frac{e^{\ln2}+e^{-\ln2}}{2}=5/4$
$\sin(\pi/2+i\ln2)={\rm Im}(e^{i(\pi/2+i\ln2)})={\rm Im}(ie^{-\ln2})={\rm Im}(1/2i)=1/2$
Tengo la sensación de que lo primero es correcto, pero no estoy seguro de dónde puede haberse equivocado lo otro.
La primera es correcta. En la segunda, estás usando ese $\sin(x)=\text{im}(e^{ix}),$ pero eso sólo se aplica si $x$ es real, lo que no es el caso aquí. Sabemos que $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ , lo que hace que se vea como $\sin(x)$ es la parte imaginaria de $e^{ix}$ Pero, ¿y si $\cos(x)$ y $\sin(x)$ no son reales?
Mi opinión es que $\sin(x)=\mathrm{Im}(e^{ix})$ sólo funciona para $x\in \mathbb{R}$ . Tomemos por ejemplo la representación en serie de $$\sin(x)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ Ahora bien, si insertamos $\sin(ix)$ con verdaderos $x$ entonces vemos que $\sin(ix)\in\mathbb{C}$ . Por otra parte, vemos que $\sin(ix)=\mathrm{Im}(e^{i(ix)}) = \mathrm{Im}(e^{-x})=0$ lo que contradice claramente nuestro hallazgo anterior. La única solución válida para el complejo $x$ sería $$\sin(x)=\frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})$$
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@OpenBall ¡No es cosa mía si hay algo en marcha! ¡Acabo de publicar la pregunta, he ido a una conferencia y estoy comprobando de nuevo ahora! Supongo que es porque la distinción de cuándo son válidas las expansiones/métodos no se enseña bien en las escuelas(ciertamente nunca me he encontrado con esto) así que parece un extraño enigma hasta que sabes que un método simplemente no es válido.