¿Tiene sentido el axioma de regularidad?

Question

De La Wikipedia:

El axioma de regularidad es un axioma de Zermelo–Fraenkel de la teoría que afirma que todo conjunto no vacío de Una contiene un elemento que es disjunta de A.

Estoy seguro de que soy extremadamente malentendido esto, pero no parece tener ningún sentido. Dos distintos conjuntos no tienen elementos en común, ¿correcto? Por lo que este dice que un conjunto contiene un elemento que es distinto. Entonces, ¿no quiere decir esto que el conjunto no contiene ese elemento si es discontinuo con él? Para mí, este axioma parece estar diciendo "Todo conjunto no vacío contiene un elemento que no contiene." Obviamente, esto no tiene sentido, así que definitivamente estoy malentendido, al menos, un aspecto de este axioma, pero que parte?

Answer 1

Por ejemplo, que $X = \{1,2\}$ (donde $0=\varnothing, 1= \{0\}, 2=\{0,1\}$). Entonces $$X\cap 1 = \varnothing$ $ $$X\cap 2 = \{1\}$ $ debido a la primera igualdad, nuestro conjunto satisface el axioma de regularidad. $X$ ser desunido con $1$ no implica que el $X$ no contiene $1$; $X\cap 1 = \varnothing$ es una declaración totalmente diferente de $1\notin X$. De hecho, los asimientos de la anteriores, como el único elemento de $1$ es $0$, que no es un elemento de $X$.

Answer 2

En pocas palabras, el axioma de prohibir "bucles".

Considera que el caso de $A= \{ a_0, a_1, a_2 \}$.

Si el axioma no se sostiene, tenemos la posibilidad de que: para todos los $i$ : $a_i \cap A \ne \emptyset$.

1) Considere el $a_0$; si la intersección de $a_0$ $A$ no está vacío, debe ser un elemento de $A$.

Así pues, hay tres posibilidades: i) $a_0 \in a_0$: lazo; ii) $a_1 \in a_0$; iii) $a_2 \in a_0$.

Dos posibilidades a la izquierda para evitar bucles.

2) Considerar la $a_1$; de nuevo, si la intersección de $a_1$ $A$ no está vacío, tenemos: i) $a_0 \in a_1$; ii) $a_1 \in a_1$: lazo; iii) $a_2 \in a_1$.

Pero $a_0 \in a_1$ y la anterior $a_1 \in a_0$ forma un bucle: $a_0 \in a_1 \in a_0$.

Por lo tanto lo que queda es: $a_2 \in a_0$$a_2 \in a_1$.

Ahora: 3) Considere el $a_2$; tenemos: i) $a_0 \in a_2$; ii) $a_1 \in a_2$; iii) $a_2 \in a_2$: bucle.

De nuevo, con: $a_0 \in a_2$ $a_2 \in a_0$ tenemos un bucle y lo mismo con $a_1 \in a_2$ $a_2 \in a_1$.

Answer 3

Su confusión parece ser debido a los niveles de contención.

Los miembros de un conjunto es sólo los elementos que están directamente incluidos en el juego. Con esto quiero decir que un conjunto puede contener otros conjuntos, pero eso no hace que los elementos de ese conjunto de un miembro de la parte externa del conjunto.

Esto es un poco de contradicción en la forma de pensar de contención en la vida ordinaria. Vamos a por ejemplo, digamos que usted tiene una caja de chocolates en su cajón de la cocina. A continuación, en la vida ordinaria se podría decir que el cajón contiene chocolates, pero en matemáticas de la terminología, no sólo contiene un cuadro (que a su vez contiene los chocolates). Ahora usted ve que en términos matemáticos el cajón de la cocina y la caja de chocolates son disjuntas (pero no en el lenguaje ordinario).

Imaginar un conjunto que viola el axioma de regularidad, probablemente se necesitará que usted tenga alguna forma de auto contención. Que es un contenedor que de alguna manera contiene en sí - que es bastante contra intuitivo, no encaja bien con la manera en que pensamos de las cosas.