Convergencia en la distribución de las expectativas condicionales

Question

Estaba leyendo esta pregunta que trata de cómo el teorema clásico del límite central puede interpretarse como una tasa de convergencia de la ley de los grandes números para variables aleatorias iid. Me preguntaba si la misma idea puede generalizarse a las martingalas.

Por ejemplo $X$ sea integrable en $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ y asumir $\mathcal{F}_n \uparrow \mathcal{F}$ . Entonces, $$E(X \mid \mathcal{F}_n) \to X \ \ \text{a.s.}$$ ¿Existe una secuencia $(a_n)_n$ y un $W$ tal que, con $Y_n = E(X \mid \mathcal{F}_n) - X$ tenemos $$\frac{Y_n}{a_n} \Rightarrow W?$$ (Aquí, $\Rightarrow$ denota convergencia en la distribución).

Answer 1

Una única secuencia $ a_n$ que funcione para todos $ X $ y $\mathcal{F}_n $ no existe. Basta con tomar cualquiera de estas entradas y crear una nueva secuencia de filtraciones repitiendo las antiguas filtraciones cada vez más a menudo. Más concretamente $$ \tilde{\mathcal{F}}_n:=\mathcal{F}_{\sqrt{n}} $$ (Redondear al número entero más próximo)

Si tuviera tasa $1/2$ convergencia antes, tendrá tasa $1/4$ convergencia con respecto a esta nueva filtración.

Dado que las variables aleatorias i.i.d. pueden considerarse un caso especial de martingalas, es evidente que en algunas situaciones se produce convergencia. Para estudiar cuándo ocurre esto, una forma es echar un vistazo a $ Z_n :=E[X|F_n]-E[X|F_{n-1}] $ y aplicar diversas formas generales del teorema central del límite (Lindeberg, ...).

Answer 2

La respuesta suele ser negativa, aunque el $a_n$ secuencia puede elegirse en función de la $X$ y $\mathcal{F}_n$ (Bananach trata el caso cuando $a_n$ debe elegirse sin conocimiento de $X$ y $\mathcal{F}_n$ ).

Defina $X$ uniforme sobre $[-1,1]$ . Para $n \in \{1, 2, 3, ...\}$ definir: $$ Z_{n} = X 1_{|X|>2^{-n}}$$

donde $1_{\mathcal{A}}$ denota la función indicadora de un acontecimiento $\mathcal{A}$ . Si conoce $Z_n$ para algunos $n>1$ entonces se puede deducir $Z_1, ..., Z_{n-1}$ . Defina $\mathcal{F}_n = \sigma(Z_n)$ . Entonces $\mathcal{F}_n \subseteq \mathcal{F}_{n+1}$ para todos $n \in \{1, 2, 3, ...\}$ et

$$E[X|\mathcal{F}_n] = E[X|X 1_{|X|>2^{-n}}] = X1_{|X|>2^{-n}}$$

Así, $E[X|\mathcal{F}_n]\rightarrow X$ casi seguro (de hecho, seguro). Ahora definamos $Y_n = E[X|\mathcal{F}_n]-X$ . Entonces $$P[Y_n=0] = P[|X|> 2^{-n}] = 1-2^{-n} $$ y para cualquier secuencia $\{a_n\}$ con $a_n\neq 0$ tenemos $P[Y_n/a_n = 0] =1-2^{-n} \rightarrow 1$ .