Un Púlsar o estrella de neutrones giratoria puede alcanzar velocidades angulares relativistas. Especial de la relatividad afirma que el contrato de objetos viajando cerca de la velocidad de la luz de longitud. Por lo tanto, parece razonable que un objeto rápidamente giratorio podría exhibir una paradoja, en el que la superficie tiene menos área de la capa debajo de ella. ¿Si esto es cierto, esto podría tener un efecto sobre otros aspectos físicos de un objeto (por ejemplo, distribución de la densidad de carga, etcetera.)?
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John R Ramsden
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Permítanme responder plenamente sólo de la parte que se puede hacer con lápiz y papel: si tenemos una familia de rigidez de rotación de los observadores en el plano espacio-tiempo, la medida de la circunferencia de nunca estar disminuyendo con respecto a la distancia desde el eje de rotación? Como veremos, la respuesta es sí.
Debido a que estamos tratando con la aceleración de los observadores y, por tanto, a partir de los observadores punto de vista, la curvatura del espacio-tiempo, voy a utilizar el tetrad formalismo. Las tétradas no son otra cosa que pequeños de coordenadas local marcos muy en el espíritu de la relatividad especial. La idea principal es tener el eje del tiempo, que coincide con el observador cuatro de la velocidad de $u^\mu$ y, a continuación, la construcción de tres "infinitesimal ejes de coordenadas", que son: 1) el espacio-tiempo ortogonal al eje de tiempo, y 2) ortogonal a cada uno de los otros. La longitud de estos vectores, a continuación, nos dice la física longitudes de líneas, como en la circunferencia.
Empecemos, tv de espacio-tiempo en coordenadas cilíndricas se parece a esto $$ds^2 = -dt^2 + \rho^2 d \phi^2 + d\rho^2 + dz^2$$ La rigidez de rotación observadores que se mueven con una coordenada angular velocity $\Omega = d\phi/dt$, lo que les da un cuatro-la velocidad de la $u^\mu = N(1,\Omega,0,0)$ donde $N$ es un factor de normalización igual a $N = 1/\sqrt{1-\Omega^2 \rho^2}$. El punto donde $\Omega \rho = 1$ es donde la rigidez de las fuerzas de rotación de los observadores que se mueven a la velocidad de la luz y de la rigidez de la rotación por tanto, debe necesariamente dejar de. (Yo uso $c=1$ unidades.) Estamos interesados en las regiones inferiores.
Ahora vamos a construir el tetrad. Naturalmente, los dos ejes están apuntando en la $\rho,z$ dirección y ver ninguna deformación. El uno en el phi de la dirección, sin embargo, ver un sesgo y la contracción. Es de la forma $e_{(\phi)}^\mu = (e_{(\phi)}^t, e_{(\phi)}^\phi,0,0)$. A partir de la condición de ortogonalidad a $u^\mu$ tenemos $$-e_{(\phi)}^t u^t + \rho^2 e_{(\phi)}^\phi u^\phi = 0$$ $$\to e_{(\phi)}^t = \rho^2 e_{(\phi)}^\phi \Omega $$ Ahora disponemos de un número indeterminado que es $e_{(\phi)}^\phi$. Nos deshacemos de ella por lo que requiere que el eje de coordenadas es normalizado a uno: $$e_{(\phi)}^\phi = \rho \sqrt{1 - \rho^2 \Omega^2}$$ Ahora hemos construido el local infinitesimal ejes, pero necesitamos especificar el proceso de medición realizado por los observadores para obtener la circunferencia.
Digamos que uno de los miembros entre un anillo de observadores en un fijo $\rho, z$ tiene una cuerda, y empieza a pasar a los otros en el ring. Mientras que la cuerda se pasa alrededor, ella mide lo que ha sido utilizado. Una vez que la cuerda va alrededor del bucle y vuelve a ella, se postula la longitud necesaria para encerrar el circuito como el de la circunferencia. Esta circunferencia se $$C_{rope} = \int_0^{2\pi} e_{(\phi)}^\phi d\phi = 2 \pi \rho \sqrt{1-\rho^2 \Omega^2}$$ Si se va a construir esta circunferencia por una más ingenuo de la longitud de la contracción especial-relativista argumento, se obtendrá el mismo resultado. $2 \pi \rho$ es habitual que se radius $\rho \Omega$ es la velocidad lineal en el laboratorio de marco, y $\sqrt{1 - \rho^2 \Omega^2}$ es, sencillamente, la duración de la contracción del factor de $\sqrt{1 - v^2}$.
Vemos que, por ejemplo, en $\Omega \rho = 1$ esta circunferencia es igual a cero, por lo que hay un punto de ruptura, donde la mayor $\rho$ definitivamente significa más pequeñas circunferencias. Podemos encontrar este punto por $dC/d\rho = 0$ $$\rho \Omega = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.71$$ Este es un resultado interesante - el circunferencias va a dejar de crecer y comenzar a encoger lugar cuando rígida de las fuerzas de rotación por encima de $71 \%$ de la velocidad de la luz!
Si desea calcular la superficie delas cosas se ponen un poco más arbitraria, porque primero hay que responder a la pregunta de cómo uno define la superficie en una coordenada independiente de sentido. Si simplemente usamos una coordenada definición con $R = \sqrt{\rho^2 + z^2}$ constante y que el cambio a coordenadas esféricas, obtenemos una superficie definida de manera similar a la circunferencia anterior como $$S(R) = 2\pi R^2 \int_0^\pi \sin \vartheta\sqrt{1 - \Omega^2 R^2 \sin^2\vartheta} d\vartheta$$ Que, con un poco de ayuda de Mathematica rendimientos de una función que también tiene un punto de inflexión en algún lugar, en $1>\Omega R > 0.9$. I. e., estas superficies también dejará de crecer a un determinado punto. Sin embargo, uno debe recordar que la parte de las superficies en el eje de rotación con pequeña velocidad lineal y por lo tanto despreciable contracción en este sentido; se trata principalmente de la reducción de la circunferencia alrededor de la línea ecuatorial que hace que el frenazo en el crecimiento de la superficie.
Ahora para la física real. Los púlsares de milisegundo, la forma más rápida rotación de conocidas estrellas de neutrones, gire una vez por unos milisegundos y se estima que tiene un radio de alrededor de $10 km$. Esto nos da una estimación de la velocidad lineal en la superficie como $\sim 10 000 km/s$. Pero esto nos da $v/c \sim 0.03$ que es de un orden menor que el crítico "de la circunferencia de la reducción-" $v/c \sim 0.71$ que hemos calculado en el plano espacio-tiempo. Así, en el pulsares sabemos que esto definitivamente no sucede.
La pregunta es si los pulsares donde sucede esto se pudo observar en el futuro. La respuesta es que probablemente no. En primer lugar, la alta rotación es rápida relajado por la radiación mediada por el campo magnético de la estrella de neutrones (esta radiación es el "pulso" en la "púlsar"). En segundo lugar, incluso si no hay ningún campo magnético está presente, $v/c \sim 0.7$ en la superficie es más, probablemente, por encima de la masa derramamiento de límite de la estrella de neutrones, donde la fuerza gravitacional es incapaz de trabajar en contra de la fuerza centrífuga y el asunto se va volando.
tparker
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La aparente paradoja de que la mención que se conoce como Ehrenfest la paradoja, aunque lamentablemente no creo que el artículo de la Wikipedia lo explica muy bien. Ehrenfest la paradoja fue históricamente importante para el desarrollo de la relatividad general, aunque la resolución que en realidad no requiere de ningún GR.
La respuesta corta es que un observador inercial que hace que no se vea el área de la superficie de un relativistically rotación de sólidos que son menos cuando no está girando. Para entender esto, tenga en cuenta que la noción de un "sólido" no está bien definida en la relatividad especial, porque las señales no pueden viajar más rápido que la velocidad de la luz, por lo que cualquier fuerza aplicada en un punto del sólido necesariamente va a deformar el sólido, al menos hasta que la información acerca de la fuerza que ha tenido tiempo para cruzar el sólido, de modo que pueda restaurar su forma. Si usted fuera a comenzar con la esfera en reposo y, a continuación, aplique una torsión uniforme en todas partes a la vez que se establece la rotación, a continuación, un observador a caballo a lo largo de la superficie de percibir el par de torsión se aplica en diferentes tiempos, de tal manera que hace que la superficie adecuada de la zona a estirar por un factor de $\gamma$. De vuelta en el sistema inercial, la contracción de Lorentz exactamente cancela el efecto de estiramiento y restaura el área de la superficie de regreso a su falta de rotación de valor. Ver la respuesta a mi pregunta anterior para más información.
