¿Cómo se define y mide la temperatura?

Question

En preguntas como esta, se mencionan temperaturas de millones de grados (Celsius, Kelvin, no importa realmente en ese punto).

Pero, ¿qué significa exactamente? ¿Qué se mide y cómo? Como más o menos esperaba, el artículo de Wikipedia menciona que la definición oficial (la que me dijeron en la escuela primaria, ya sea entre los puntos de congelación y ebullición del agua para Celsius, o entre el cero absoluto y el punto triple del agua para Kelvin) no realmente funciona por encima de los 1300K.

Entonces, preguntas:

• Para "temperaturas terrestres", ¿cómo se mide la temperatura de manera consistente? ¿Por qué se asumiría la linealidad del dispositivo de medición, en particular para extrapolar más allá del rango inicial (0-100, o 0-273.16)? ¿Qué garantiza que dos termómetros, que funcionan bajo principios diferentes (digamos, mercurio y electricidad), que estén de acuerdo en 0C y 100C, estarán de acuerdo en 50C?

• ¿Qué significan afirmaciones como "la temperatura en el núcleo del Sol es $1.5\times10^7K$? ¿O incluso, qué significan los "7000K" en el núcleo de la Tierra?

Answer 1

Definiciones

En primer lugar, la temperatura es un parámetro que define una distribución estadística, de la misma manera que los parámetros estadísticos de la media y la desviación estándar definen la distribución de probabilidad normal. La temperatura define la distribución de equilibrio (máxima probabilidad) de las energías de las partículas en una colección de partículas estadísticamente independientes a través de la distribución de Boltzmann. Si las posibles energías de las partículas son $E_i$, entonces la distribución de energía de partículas de máxima probabilidad es proporcional a $\exp\left(-\frac{E_i}{k\,T}\right)$, donde $T$ es simplemente un parámetro de la distribución. En la mayoría de los casos, a mayor energía total del sistema, mayor es su temperatura (pero esto no siempre es así, ver mi respuesta aquí) y de hecho, para los gases ideales, la temperatura es proporcional a la energía media de las moléculas constituyentes (a veces se escucha a la gente decir incorrectamente que la temperatura mide la energía media de las partículas, esto es así para los gases ideales pero no en general). Esta última definición incorrecta, no obstante, dará mucha intuición correcta para sistemas comunes. Una niña de ocho años en la escuela de mi hija en nuestras sesiones de ciencias con los padres una vez me dijo que ella pensaba que la temperatura medía la cantidad de energía térmica en un cuerpo, y me impresionó bastante esa respuesta de una niña de ocho años.

Una definición equivalente que nos permite calcular el parámetro estadístico de la temperatura es que el recíproco de la temperatura termodinámica de equilibrio, $\beta = \frac{1}{k\,T}$ está definido por:

$$\frac{1}{k\,T} = \partial_U S\tag{1}$$

donde $U$ es la energía interna total de un sistema y $S$ es la entropía del sistema es decir $\beta$ (a veces llamado cariñosamente el "perk") es cuánto un sistema dado "termaliza" (aumenta su entropía) en respuesta a la adición de calor a su energía interna $U$ (cuánto se anima o "se reanima" el sistema). La constante de Boltzmann depende de cómo se define la unidad de temperatura: en unidades naturales (Planck) la temperatura unidad se define de manera que $k = 1$.

Esta definición se remonta a la ingeniosa definición de la temperatura de Carnot, en la que se elige un depósito de calor "estándar" y luego se mide la eficiencia de un motor de calor ideal que funciona entre un depósito cuya temperatura se va a medir y el estándar. Si la eficiencia es $\eta$, entonces la temperatura del depósito caliente es $\frac{1}{1-\eta}$. La elección del depósito estándar es equivalente a fijar la constante de Boltzmann. Por supuesto, los motores de calor ideales no existen, pero esta es una definición de "experimento mental". No obstante, esta definición lleva a la realización de que debe haber una función de estado - la entropía - y que podemos definir la temperatura a través de (1). Consultar mi respuesta aquí para más detalles.

Mediciones

Las temperaturas extremas, como los núcleos de las estrellas, se calculan teóricamente. Dado un modelo termodinámico estelar y cálculos de presión a partir de la teoría gravitacional, se puede calcular la distribución estadística de energías que prevalece. Los modelos estelares predicen las temperaturas de la superficie y estas últimas, no tan extremas, se pueden medir por espectroscopia, es decir mediante la medición del espectro de la luz emitida y luego ajustándolo a la Ley de Radiación de Planck. Dada una razonable concordancia entre las cantidades predichas y observadas, se puede tener una confianza razonable en las temperaturas calculadas para el núcleo estelar.

La Pirometría, fundamentada en la Ley de Stefan-Boltzmann, es otra forma más simple (pero menos precisa) de medir temperaturas altas.

Las temperaturas del núcleo terrestre se deducen en parte a través de modelos teóricos de la misma manera, pero también se infieren por lo que sabemos sobre el comportamiento de la materia a esas temperaturas. Tales temperaturas y presiones pueden crearse en el laboratorio y monitorearse a través de pirometría. Tenemos una confianza razonable en el diagrama de fases del hierro, por ejemplo, y sabemos bajo qué temperaturas y presiones estará líquido y cuándo estará sólido. Luego, las mediciones de ondas sísmicas nos dan una imagen del núcleo de la Tierra; así sabemos el radio del núcleo interno, sólido. Dado que conocemos el diagrama de fases para la aleación de hierro-níquel asumida como el núcleo, el límite del núcleo sólido nos da una medida indirecta de la temperatura en el límite.

Answer 2

Me encanta que la gente cuestione los significados de las mediciones que tomamos. Demasiadas personas simplemente asumen ciegamente que si el líquido en el termómetro alcanza los 99 grados Fahrenheit, entonces eso es simplemente la verdad. Felicitaciones por cuestionarlo.

WetSavannaAnimal tiene las definiciones "modernas" correctas de temperatura, que se basan en cómo los científicos modelan actualmente el mundo que nos rodea. Sin embargo, si queremos analizar qué "garantías" tenemos, es útil pensarlo un poco al revés. Mientras podría decir algo como "tu termómetro de mercurio y electrónico estarán de acuerdo a 50 °C porque ambos son dispositivos diseñados para medir el mismo valor estadístico", puede ser más útil mirar desde una perspectiva histórica cómo llegamos a los termómetros en primer lugar. Desde ese punto de vista, no tienes garantía de la física de que dos termómetros muestren lo mismo, pero históricamente los físicos optaron por centrarse en propiedades que podían medirse de manera constante.

Como ejemplo, podríamos empezar con la escala Celsius que establece que el agua en su punto de congelación está a 0 °C y en su punto de ebullición está a 100 °C. Por sí sola, esta definición permitiría cualquier cantidad de dispositivos altamente no lineales, de modo que no es necesario que dos termómetros coincidan en ninguna temperatura excepto 0 y 100. Sin embargo, los físicos notaron propiedades útiles sobre los objetos. Observaron que si pones dos objetos de diferentes temperaturas en contacto, se igualan a alguna temperatura intermedia. Podrías construir tablas de diferentes tamaños de objetos y temperaturas de objetos y predecir de manera fiable la temperatura final cuando se juntan.

Una de las propiedades que conocemos de la temperatura es que este efecto en particular es muy lineal. Podemos definir las capacidades térmicas de los objetos $H_a$ y $H_b$, y sus temperaturas, y mostrar que la temperatura final es simplemente un promedio ponderado en función de $H_a$ y $H_b$. Sabemos esto porque lo leímos en un libro de texto. Los físicos originales tuvieron que descubrirlo. Lo que habrían notado es que podían modelar este efecto con un modelo lineal de los objetos y un mapeo no lineal para obtener lecturas de los termómetros. Esto les mostró que los efectos eran lineales, y la única no linealidad provenía de sus termómetros. Con esta información en mente, les sería fácil construir termómetros lo más lineales posible (como nuestros termómetros de líquido que usamos para tomar la temperatura de una persona). Esto llevaría a que todos estuvieran de acuerdo en algún punto de 50 °C, ya sea 1 pulgada de mercurio en un termómetro o 20 grados de deflexión en un resorte bimetálico. Todos podrían estar de acuerdo en que hay algo lineal que medir porque la física subyacente de la transferencia de calor era lineal. Por qué era lineal tardó mucho más en descubrirse, pero entendimos que estos modelos lineales encajaban muy bien con la física.

Esto nos permite comenzar a hablar de temperaturas superiores a 100 °C. Imagina que tengo un bloque de acero de 99 g y una bala de acero de 1 g, y caliento la bala a una temperatura mucho más alta que 100 °C. Digamos que, en realidad, la caliento a 1000 °C, pero aún no conozco esa temperatura. Mid... 100 °C.

En algún momento, tienes razón en sentir que las mediciones se vuelven absurdas. Millones de grados no parecen significar mucho para los humanos, ¿verdad? Sin embargo, tenemos ecuaciones que predicen las transferencias de calor debido a la radiación de objetos muy calientes. Estas ecuaciones hacen un trabajo muy bueno para predecir la transferencia de calor en escalas terrestres. Si aplicamos esas ecuaciones a los espectros que vemos de las estrellas, descubrimos que los cálculos sugieren efectivamente millones de grados. Es una medida muy indirecta, pero si medimos algo indirectamente de muchas maneras diferentes, y todas proporcionan el mismo resultado, podemos tener un alto grado de confianza en que esa medición es la misma que obtendríamos si la midiéramos directamente.

Answer 3

La comprensión moderna de la temperatura proviene de la mecánica estadística, donde se define como,

$$\frac{1}{T} = \frac{\partial S}{\partial E}$$

donde $S = k_B \ln \Omega(E)$ es la entropía del sistema, con $\Omega(E)$ siendo el número de estados en energía $E$. Para entender por qué es una definición sensata, recordemos una propiedad clave es que sistemas de la misma temperatura cuando se ponen en contacto no intercambiarán energía.

Si dos sistemas se ponen en contacto, actuarán para maximizar su entropía, con un sistema en alguna energía $E_\star$ y el otro en $E_{\mathrm{total}}-E_\star$ con $E_\star$ definido como,

$$\frac{\partial S_1}{\partial E}\bigg\rvert_{E=E_\star} - \frac{\partial S_2}{\partial E}\bigg\rvert_{E=E_{\mathrm{total}}-E_\star}=0.$$

Si nada ocurre cuando se ponen en contacto, debe significar que el sistema en cuestión ya tenía esta energía, lo que es equivalente matemáticamente a afirmar,

$$\frac{\partial S_1}{\partial E} = \frac{\partial S_2}{\partial E} \leftrightarrow T_1 = T_2$$

implicando que ambos tienen la misma propiedad que llamamos temperatura. Esto muestra por qué es una definición sensata que es consistente con lo que observamos en experimentos. También cabe destacar que con esta definición, la entropía debe aumentar. Si los sistemas están a diferentes energías, tenemos que,

$$\delta S = \frac{\partial S_1}{\partial E}\delta E_1 + \frac{S_2}{\partial E}\delta E_2 = \left( \frac{\partial S_1}{\partial E}-\frac{\partial S_2}{\partial E}\right)\delta E_1 = \left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right) \delta E_1 >0$$

usando la conservación que implica $\delta E_1 = -\delta E_2$. Espero que esto aclare cómo se define la temperatura, y por qué la definición es sensata y útil.

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Vale la pena señalar que uno podría argumentar, ¿por qué la temperatura no se definió de alguna otra manera, como por ejemplo $\frac{1}{T^2} = \frac{\partial S}{\partial E}$. El hecho de que sea $\frac{1}{T}$ está motivado por calcular explícitamente $T$ para varios sistemas, y encontrar que $\frac{1}{T} = \frac{\partial S}{\partial E}$ es la elección más conveniente.