Visualización de la 4ª dimensión.

Question

En una conferencia de novatos de Geometría 3D Nuestro profesor dijo que 3-D los objetos pueden ser vistos como proyecciones de 4-D objetos. ¿Cómo nos ayuda esto a visualizar 4-D ¿Objetos? He buscado que al menos podamos ver su 3-D secciones transversales. A Tesseract El hipercubo sería un buen ejemplo.
¿Podemos concluir que un cubo tridimensional es la sombra de un teseracto tridimensional?

Pero, ¿cómo puede una sombra ser 3-D ? ¿Se utilizó la pantalla para proyectar la sombra también 3-D o bien, ¿en qué se diferencia de la física básica de las sombras que aprendimos?

editar: Las respuestas son bastante buenas para 4ª. análisis dimensional, pero ¿podemos generalizar esta idea de proyección para n dimensiones, es decir, todas n objetos dimensionales tendrán n-1 ¿proyecciones dimensionales?
Esto me hace pensar en dimensiones superiores discutido en teoría de las cuerdas .
¿Qué otras áreas de Matemáticas ¿será útil?

Answer 1

Las siguientes animaciones acompañan una charla introductoria sobre geometría de alta dimensión.

Matemáticamente, el segundo se hizo poniendo una "fuente de luz" en un punto $(0, 0, 0, h)$ (con $h > 0$ ) y enviando cada punto $(x, y, z, w)$ (con $w < h$ ) a $\frac{h}{h - w}(x, y, z)$ .

Answer 2

Lo primero es lo primero: tu cerebro no está hecho para visualizar nada más allá de tres dimensiones espaciales geométricas. Todo lo que podemos hacer es utilizar trucos y analogías y, por supuesto, el enorme poder de las matemáticas abstractas. Esta última puede ayudarnos a entender las propiedades generalizadas de tales objetos, pero no ayuda a visualizarlos para nosotros, los seres tridimensionales, de una manera familiar.

Mantendré las cosas simples y hablaré más sobre la filosofía y la visualización que sobre las matemáticas que hay detrás. Evitaré utilizar fórmulas en la medida de lo posible.

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La analogía

Si se mira la imagen de un cubo, la imagen es absolutamente 2D, pero se entiende intuitivamente que el objeto representado es algún modelo 3D. También entiendes intuitivamente su forma y posición en el espacio. ¿Cómo lo consigue tu cerebro? Es evidente que se pierde información durante la proyección en 2D.

Pues bien, usted (o su cerebro) dispone de diferentes técnicas para reconstruir la naturaleza 3D del objeto a partir de esta representación simplificada. Por ejemplo: sabes que las cosas son más pequeñas si están más lejos. Usted conozca que un cubo se compone de caras del mismo tamaño. Sin embargo, cualquier imagen (perspectivamente correcta) muestra alguna cara (la cara trasera, si es visible) más pequeña que la cara delantera. Además, ya no tiene la forma de un cuadrado, pero se sigue reconociendo como tal.

Utilizamos las mismas analogías para proyectar objetos 4D en el espacio 3D (y luego en el espacio 2D para crear un archivo de imagen). Mira tu "foto" favorita de un Cubo 4D . Reconoce que está compuesto por varios cubos. Por ejemplo, ves un cubo pequeño en el interior y un cubo grande en el exterior. En realidad, un teseracto (término técnico para el cubo 4D) está compuesto por ocho cubos idénticos . Pero buena suerte para encontrar estos cubos en esta foto. Se parecen tanto a un cubo como un cuadrado se parece a un cuadrado en la representación 2D de un cubo 3D.

El pequeño cubo "interior" es el "cubo trasero" del teseracto. Es el más alejado de ti, por tanto el más pequeño. El cubo "exterior" es el cubo frontal por la razón análoga. Puede ser difícil de ver, pero hay "cubos" que conectan el cubo interior y el exterior. Estos cubos están distorsionados, y no pueden ser reconocidos como cubos. Este es el problema de las proyecciones. Puede que no se conserve una forma.

Aún más interesante: mira esta foto de un teseracto giratorio . Parece que toda la estructura se desplaza, nada es rígido en absoluto. Pero, de nuevo, tomemos el ejemplo de un cubo 3D que gira en una imagen. Durante el proceso de rotación, la cara posterior se convierte en la cara frontal, por lo que cambia su tamaño. Y durante este proceso incluso pierde su forma de cuadrado. Todas las longitudes de las líneas están cambiando. Es un defecto de la proyección. Lo mismo ocurre con el teseracto en rotación. El cubo interior se está convirtiendo en el exterior, haciéndose más grande porque se está convirtiendo en el "cubo frontal".

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La proyección

Acabo de hablar de las proyecciones. Pero una proyección es esencialmente lo mismo que una imagen de sombra en la pared. La luz se proyecta sobre un objeto 3D y es bloqueada por éste, y tú intentas reconstruir su forma a partir de las manchas claras y oscuras que deja en la pared de detrás. Por supuesto, no podemos hablar físicamente de una fuente de luz 4D y de una luz que viaja a través del espacio 4D y choca con una pared 3D y proyecta una sombra 3D. Como he dicho, esto es sólo una pura analogía. Sólo conocemos la física de nuestro mundo 3D (espacio-tiempo 4D si quieres, pero no hay cuatro dimensiones espaciales, sino una temporal)

Entonces, ¿en qué te proyectas? Bueno, estás proyectando en nuestro espacio 3D. Es difícil de imaginar, pero nuestro espacio 3D es tan importante para el espacio 4D como una simple hoja de papel lo es para nuestro espacio $-$ plana e infinitamente delgada.

La crudeza de estas representaciones se hará evidente cuando se aclare cuántas dimensiones se pierden en el proceso. Esencialmente, se está proyectando un objeto en 4D en un espacio en 3D y luego en una imagen en 2D para poder mostrarlo en la pantalla. Por supuesto, nuestro cerebro es lo suficientemente inteligente como para permitirnos reconstruir el modelo 3D a partir de él. Pero esencialmente pasamos de las 4D a las 2D. Es como pasar de la 3D a la 1D, tratando de entender un objeto 3D mirando su sombra proyectada en un hilo fino. Buena suerte para que las criaturas 2D entiendan las 3D a partir de esta burda simplificación.

Answer 3

Desde el punto de vista matemático, lo que tu profesor llamaba sombra es una proyección. Piensa en una superficie $S$ que se encuentra en un espacio ambiental 3D con coordenadas $(x,y,z)$ . Si pones una pantalla en el avión $z=0$ y una luz por encima de su superficie (muy lejos, para que los rayos sean paralelos), la sombra de un punto $(x_0,y_0,z_0)$ en su superficie va a ser el punto $(x_0,y_0,0)$ , sentado en el avión $z=0$ .

Por supuesto, con una sola de estas proyecciones no puedes hacerte una buena idea de cómo es tu superficie, ya que pierdes mucha información (no sabes si hay algún otro punto en $S$ que se encuentra en la parte superior $(x_0,y_0,0)$ ). Por lo tanto, es posible que desee proyectar en una dirección diferente, tal vez el avión $y=0$ para que los puntos $(x_0,y_0,z_0)$ en la superficie se asignan a $(x_0,0,z_0)$ . De hecho, puedes hacer esto para cualquier plano que viva en tu espacio 3D, y esperamos que todas esas diferentes proyecciones te den una idea de lo que $S$ parece.

Para un objeto que vive en un espacio 4D, visualizar es más difícil, pero escribir ecuaciones no lo es. Tu espacio en 4D es sólo un conjunto de 4-uplets $(x,y,z,t)$ y todavía puedes proyectar puntos $(x_0,y_0,z_0,t_0)$ en su superficie en "hiperplanos", como el conjunto definido por la ecuación $t_0=0$ . Por ejemplo, la proyección de un punto $(x,y,z,t)$ en el hiperplano $t=0$ es sólo $(x,y,z,0)$ .

En este contexto, un hiperplano viene dado por una ecuación de la forma $ax+by+cz+dt+e=0$ y es en sí mismo un espacio 3D.

Si quieres un ejemplo de un objeto 3D que vive en un espacio 4D, puedes tomar la hiperesfera unitaria dada por la ecuación $x^2+y^2+z^2+t^2=1$ . Intenta averiguar cómo se proyecta en algunos hiperplanos.

Answer 4

Puedo visualizar 4 dimensiones y más allá con el arte ASCII:

1-D:

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2-D:

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3-D:

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|    | +
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4-D:

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|    |    |    |/
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5-D:

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   /    /    /    /|
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 /    /    /    /| +...
+----+----+----+ |/
|    |    |    | +...
|    |    |    |/
+----+----+----+...

... y así sucesivamente.

Aquí puedes ver el concepto de "sombra". La caja tridimensional proyectaría una sombra bidimensional. Si lo pensamos de otra manera, el objeto 4-D proyecta una sombra que se extiende a lo largo de una dimensión, mientras que el 5-D proyecta una sombra que se extiende a lo largo de 2 dimensiones. Y recuerda: nadie dijo que las dimensiones tuvieran que ser ilimitadas.

Answer 5

La sombra de un cubo es su proyección sobre un plano. Está formada por las sombras de las seis caras, cada una de las cuales da un cuadrilátero. Como las sombras de las caras se superponen entre sí y se fusionan, todo lo que se ve es una silueta cuadrilátera o hexagonal, según las direcciones de observación.

Generalizando a las 3D, la sombra de un teseracto proyectada en un "espacio" estaría formada por ocho cubos (distorsionados), que se fusionarían en una hipersilueta poliédrica.

Por supuesto, no hay física en el mundo real.