Encuentre $x \in \mathbb Z^+$ tal que $x\sum _{i=1}^{x} \frac 1{i!} \in \mathbb Z$

Question

Encuentre $x \in \mathbb Z^+$ tal que $$n = x\cdot \left ( \frac 1{1!} + \frac 1{2!} + \cdots +\frac 1{x!} \right ) \in \mathbb Z$$

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Es fácil mostrar $x = 1$ es una solución,

Pero no sé qué hacer para encontrar todos los $x$ Por favor, dame una pista.

Gracias.

Answer 1

Una pista: $$ x\cdot \left ( \frac 1{1!} + \frac 1{2!} + \cdots +\frac 1{x!} \right )=\frac{x!+\frac{x!}{2}+...+x+1}{(x-1)!} $$ y para $x > 3$ el numerador nunca es divisible por $3$ mientras que el denominador...

Por lo tanto, las únicas soluciones son...

Answer 2

$$\begin{align*}2\cdot\sum_{i=1}^2\frac1{i!}&=2\left(1+\frac12\right)=3\in\Bbb Z\\ 3\cdot\sum_{i=1}^3\frac1{i!}&=3\left(1+\frac12+\frac16\right)=3+\frac32+\frac12=5\in\Bbb Z\end{align*}$$