$1+n!=m^{2}$ % m n, $\in\mathbb{N}$

Question

No tengo ni idea si se conoce o no y no pude encontrar todo lo relacionado en Google. Mientras estudiaba, vengo con esta idea $1+n!=m^{2} $ $n,m\in\mathbb{N}$

$1+4!=5^{2}$

$1+5!=11^{2}$

$1+?!=?^{2}$

y la pregunta es ¿cuál es el número siguiente? Wolfram Alpha me dio este gráfico interesante:

Gracias de antemano por su interés.

Answer 1

$$4!+1=5^2\\5!+1=11^2\\7!+1=71^2$$

Este problema se denomina problema de Brocard, y pares de números enteros que satisfacen son conocidos como números de Brown. No existen otras soluciones conocidas hasta $10^9!+1$.

Answer 2

$m^2-n!-1=0\Rightarrow m=\pm\sqrt{(n!)^2+1}$ Esto debería ayudarle a encontrar $n$ ya que necesita $(n!)^2+1$ a ser un cuadrado ej $(n!)^2+1=a^2$ $a\in(2k-1)\mathbb{N}$ (probabilidad)