Con el fin de dar un ejemplo de una función de $\mathbb{R}$ a, cuya gráfica está conectado en $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$, sin embargo, no es continua, el libro de Berkley Problemas en Matemáticas se refiere a una función: $f(x)=\sin(\frac{1}{x})$.
Vamos $$S_1=\left\{(x,\sin\left(\frac{1}{x}\right))\mid x <0\right\}, \ S_2=\left\{(x,\sin\left(\frac{1}{x}\right)) \mid x >0\right\}.$$ $S_1$ and $S_2$ are both connected subsets of $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$. Desde $(0,0)$ pertenece a la clausura en $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ tanto $S_1$$S_2$, los conjuntos de $S_1 \cup \{(0,0)\}$ $S_2 \cup \{(0,0)\}$ están conectados. Debido a que estos equipos tienen un punto en común, su unión $$(S_1 \cup \{(0,0)\}) \cup (S_2 \cup \{(0,0)\})$$ is connected. This union is the graph of the function $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ defined by $f(x)=\sin(\frac{1}{x})$, $x \neq 0$, $f(0)=0$, which is not continuous at $x=0$.
En este ejemplo, lo que yo no entiendo es por qué $(0,0)$ pertenece a la clausura de $S_1$$S_2$. Que yo sepa, la función de $f(x)$ vibra fuertemente cerca de $0$, así que ¿cómo puede el gráfico acercarse a $(0,0)$? ¿Cómo puede el $(0,0)$ estar en el cierre de los dos conjuntos?
Muchas gracias!
