Pregunta sobre los coeficientes de $(1+x+x^2+x^3+x^4)^{496}$

Question

Considere la expansión $$(1+x+x^2+x^3+x^4)^{496} = a_0+a_1x+ \cdots +a_{1984}x^{1984}.$$ $ \quad $ a) Determinar el mayor divisor común de los coeficientes $a_3,a_8,a_{13}, \ldots ,a_{1983}$ .

$ \quad $ b) Probar que $10^{340} < a_{992} < 10^{347}$ .

¿Hay una forma más fácil de resolver esto y hay una fórmula para la multisección para sólo la suma de los coeficientes y no incluir $x^k$ ?

Pensé en usar la fórmula de la Multisección para probar (a). Eso es, $$ \sum_ {k \equiv r \pmod {m}}a_kx^k = \dfrac {1}{m} \sum_ {s=0}^{m-1} \epsilon ^{-rs} f( \epsilon ^s x)$$ donde $ \epsilon $ es un primitivo $m$ la raíz de la unidad y $ \displaystyle f(x) = (1+x+x^2+x^3+x^4)^{496}$ .

Así que tenemos $r = 3, m = 5$ y así \begin {alineado*} \sum_ {k \equiv 3 \pmod {5}}a_kx^k &= \frac {1}{5} \sum_ {s=0}^{4} w^{-3s} (1+w^s x+(w^{s}x)^2+(w^{s} x)^3+(w^{s}x)^4)^{496} \\ &= \dfrac {1}{5} \sum_ {s=0}^4 w^{-3s} \left ( \dfrac {(w^s x)^{5}-1}{w^s x-1} \right )^{496} \\ &= \dfrac {1}{5} \sum_ {s=0}^4 w^{-3s} \left ( \dfrac {x^{5}-1}{w^s x-1} \right )^{496}. \end {alineado*}

Answer 1

Sobre el punto $(b)$ podemos observar que $992=\frac{1984}{2}$ Por lo tanto $a_{992}$ es el mayor coeficiente (se trata de polinomios palíndromos) y $$ a_{992} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(e^{-2iz}+e^{-iz}+1+e^{iz}+e^{2iz}\right)^{496}\,dz $$ es una integral real no es tan difícil de aproximar : $$ a_{992} = \frac{5^{496}}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{1+2\cos(z)+2\cos(2z)}{5}\right)^{496}\,dz $$ da: $$ a_{992} \approx \frac{5^{496}}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-496z^2}\,dz = \frac{5^{496}}{8\sqrt{31\pi}}$$ así que $a_{992}$ está entre $10^{\color{red}{344}}$ y $10^{\color{red}{345}}$ .

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Sobre el punto $(a)$ , dado $f(x)=\left(\frac{1-x^5}{1-x}\right)^{496}=\sum_{n\geq 0}a_n x^n$ por la transformada discreta de Fourier:

$$ \sum_{k\equiv 3\!\pmod{5}}\!\!\!a_k x^k = \frac{1}{5}\sum_{s=0}^{4}w^{-3s}\left(\frac{x^5-1}{w^s x-1}\right)^{496}=\frac{(x^5-1)^{496}}{5}\sum_{s=0}^{4}\frac{w^{2s}}{(w^s x-1)^{496}} $$ así que : $$ \sum_{k\equiv 3\!\pmod{5}}\!\!\!a_k x^k =(1-x^5)^{496}\sum_{j\geq 0}\binom{495+5j+3}{5j+3}x^{5j+3}.$$ Si tenemos $g(x)=\sum_{n\geq 0}g_n x^n$ entonces $\frac{g(x)}{1-x}=\sum_{n\geq 0}G_n x^n$ con $G_n=\sum_{k=0}^{n}g_k$ . Las secuencias $\{g_n\}_{n\geq 0}$ y $\{G_n\}_{n\geq 0}$ tienen el mismo máximo común divisor, por lo que en nuestro caso basta con encontrar el máximo común divisor de la secuencia $$ \left\{\binom{495+5j+3}{495}\right\}_{j\geq 0}. $$ El $\gcd$ es preservado por el operador de diferencia hacia adelante, y el $j$ -término de nuestra secuencia es un polinomio en $j$ con grado $495$ con el término principal $C_{495}\cdot j^{495}$ . El $\gcd$ de toda la secuencia es así $$ \gcd\left(C_{495},\binom{495+3}{495}\right) = \color{red}{2\cdot 31\cdot 71\cdot 83}=365366.$$

Answer 2

(a) En primer lugar, se advierte que $a_{1983} = 496$ ya que tenemos que elegir uno de los $496$ términos $1+x+x^2+x^3+x^4$ para ser $x^3$ . Ahora vemos que tenemos $5^{495}$ opciones para cada uno de los términos hasta elegir el último. Como queremos que los exponentes sumen $3$ modulo $5$ , hay exactamente un término en el último término para obtener $3$ modulo $5$ . Así, $\sum_{k \equiv 3 \pmod{5}}a_k = 5^{495}$ . Pero $5 \nmid 496$ y así $\gcd(a_3,a_8,\ldots,a_{1983}) = 1$ .

(b) Utilizando un argumento similar al de (a), $\sum_{k \equiv 2 \pmod{5}} a_k = 5^{495}$ . Así, dado que los coeficientes $a_i > 0$ tenemos $a_{992} < 5^{495}$ . Entonces, como $5 < 10^{0.7}$ vemos que $a_{992} < 10^{346.5}$ Ahora, primero queremos demostrar que $a_{992} = \max\{a_i \mid i \in \{0,1,\ldots,1984\}\}$ por lo que primero notamos que como $1+x+x^2+x^3+x^4$ es un polinomio palindrómico, también lo es $(1+x+x^2+x^3+x^4)^{496}$ . Entonces es suficiente con demostrar el siguiente lema.

Lema. Si $(1 + x + x^2 + x^3 + x^4)^n = a_0 + a_1x + \cdots + a_{4n}x^{4n}$ para algún número entero positivo $n \geq 2$ entonces $a_0 < a_1 < \cdots < a_{2n}$ .

Prueba. Demostramos el resultado por inducción en $n$ . Para $n = 2$ tenemos $$(1 + x + \cdots + x^4)^2 = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + 4x^5 + 3x^6 + 2x^7 + x^8$$ y $a_0 < a_1 < \cdots < a_{4}$ . Supongamos ahora que $$(1 + x + \cdots + x^4)^n = a_0 + a_1x + \cdots + a_{4n}x^{4n}$$ con $a_0 < a_1 < a_2 < \cdots < a_{2n}$ y $$(1 + x + \cdots + x^4)^{n+1} = b_0 + b_1x + \cdots + b_{4n+4}x^{4n+4}.$$ Entonces, como $$(1 + x + \cdots + x^4)^{n+1} = (1+x+\cdots + x^4)^n\cdot(1+x+\cdots +x^4)$$ y así \begin{align*} b_i &= a_i + a_{i-1} + a_{i-2} + a_{i-3} + a_{i-4}\quad \text{for}\quad 4\leq i \leq 2n + 2\\ b_3 &= a_3 + a_2 + a_1 + a_0 \\ b_2 &= a_2 + a_1 + a_0 \\ b_1 &= a_1 + a_0 \\ b_0 &= a_0. \end{align*} Entonces, como $a_i > 0$ vemos que $b_0 < b_1 < b_2 < b_3 < b_4$ . Para $4 < i \leq 2n$ tenemos $$b_{i} - b_{i-1} = a_i - a_{i-5} > 0$$ por suposición. Además, tenemos $$b_{2n + 1} - b_{2n} = a_{2n+1} - a_{2n-4} = a_{2n-1} - a_{2n-4} > 0$$ y $$b_{2n + 2} - b_{2n+1} = a_{2n + 2} - a_{2n - 3} = a_{2n - 2} - a_{2n - 3} > 0,$$ desde $(1+x+x^2+x^3+x^4)^{496}$ es palindrómico, completando la inducción. $\square$

Ahora bien, como $a_{992}$ es el coeficiente máximo vemos que $\dfrac{5^{496}}{1985} < a_{992}$ y queda por demostrar que $10^{340} < \dfrac{5^{496}}{1985}$ . Esta desigualdad equivale a $$2^{340} < \dfrac{5^{496-340}}{5 \cdot 397}=\dfrac{5^{155}}{397}$$ y $$397\cdot 2^{340} < 5^{155}.$$ Desde $$397 < 1024=2^{10}$$ basta con demostrar que $$2^{350} < 5^{155}.$$ Pero esto equivale a demostrar que $$2^{70} < 5 \cdot 5^{30}$$ y por lo tanto a $$5 > \left(\frac{2^7}{5^3}\right)^{10}=(1.024)^{10}.$$ Finalmente, $$(1.024)^{10} < (1.1)^{10} = (1.21)^5 < 1.3 (1.3)^4 < 1.3 (1.7)^2 = 3.757 < 5.$$

Answer 3

La mejor prueba es deducirlo con exactitud (sólo hay que ir ampliando paréntesis, eso es tedioso pero duable): $ a_{992}=61891934898586694757127096794241251770149317537060808781144881413603480491 24918357373293798914010206975822256711298898509033399713925282196435961001118646 50955624281976370104666002377445226707608416610042892219490874678682012497086475 04760953092185332340694544922169151358811534533683807953108052908377292793047440 8481763742091932486745302791125 $ que es aproximadamente $$ 6.189193489858669*10^{344} $$