Encuentre $f^{(1001)}(0)$

Question

Debo encontrar el valor en 0 de la derivada 1001 de la función $$f(x) = \frac{1}{2+3x^2}$$

¿Cómo debo abordar este tipo de problema? He intentado algo así como : $$\frac{1}{2+3x^2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-(-\frac{3}{2}x^2)}= \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{3x^2}{2}\right)^n$$ y comparar lo que está al lado de $x^{1001}$ en esta suma y en la serie de MacLaurin, pero maldita sea, aquí sólo tenemos potencias pares de x. ¿Cómo lo hago?

Answer 1

Sólo hay que tener en cuenta que la serie de Taylor de un función uniforme sólo tiene términos de potencias pares de $x$ y los poderes de impar de $x$ si la función es impar . Por lo tanto, sin computar la serie deberías saber la respuesta.

Por lo tanto, sólo hay que ver que la función es par o impar.

Answer 2

Te falta un signo menos:

$$f(x)=\frac12\sum_{n\ge 0}(-1)^n\left(\frac32\right)^nx^{2n}\;.$$

Así,

$$f^{(1001)}(x)=\frac12\sum_{n\ge 0}(-1)^n\left(\frac32\right)^n(2n)^{\underline{1001}}x^{2n-1001}\;,$$

donde $$(2n)^{\underline{1001}}=(2n)(2n-1)\ldots(2n-1001+1)=(2n)(2n-1)\ldots(2n-1000)$$ es un factorial descendente . Esto es cero si $n\le 500$ Así que

$$\begin{align*} f^{(1001)}(x)&=\frac12\sum_{n\ge 501}(-1)^n\left(\frac32\right)^n(2n)^{\underline{1001}}x^{2n-1001}\\\\ &=\frac12\left(-\left(\frac32\right)^{501}x+\left(\frac32\right)^{502}x^3-\ldots\right)\;, \end{align*}$$

y $f^{(1001)}(0)=0$ .

Por supuesto, no hay que hacer todo este cálculo: el hecho de que la serie original tenga sólo potencias pares significa que cualquier derivada de orden impar debe tener sólo potencias Impares y, por tanto, un término constante de $0$ .

Answer 3

"sólo tenemos poderes parejos de $x$ ¡aquí" es exactamente lo que te ayudará! Examinando la serie de Taylor puedes ver que el coeficiente del $x^{1001}$ El término es $0$ .

Por lo tanto, después de tomar los derivados tendrás $0 \cdot 1001! x^0$ como su término constante. Como todos los demás términos de la expansión de la serie de Taylor tienen $x^m$ donde $m$ es positivo, se puede concluir que $$f^{(1001)} = 0 + 0 + \cdots 0 = 0.$$