¿Cálculo, dx encima de fracción?

Question

Estoy estudiando para un final, y no he visto ninguna mención de cualquier problema de esta forma en clase o en mi tarea. No puedo averiguar cómo solucionar este problema:

$$\int^{e^6}_{1}{\frac{dx}{x(1+\ln(x))}}$$

Lo que estaba pensando es:

$$\int{\frac{dx}{x(1+\ln(x))}}+C = \int{\frac{1}{x(1+\ln(x))}dx}+C =ln(ln(x)+1)+C $$

luego resolver por $$F(e^6) - F(1)$ $

Pero no estoy tan seguro de que esto es el enfoque correcto. ¿Alguien puede resaltar por el dx está en una posición tan inusual?

Answer 1

El $\,dx\,$ término en el numerador es simplemente la sustitución de las múltiples $1$.

$$\int^{e^6}_{1}{\frac{dx}{x(1+\ln(x))}} = \int^{e^6}_{1}{\frac{1}{x(1+\ln(x))}\,dx}$$

Esto es "algo así como" cuando se representa una fracción en una de dos maneras: $\;\dfrac 35 = \dfrac 15\cdot 3.\;$

Por supuesto, no queremos dar a entender que "$\,dx\,$" es un número, per se. Pero usted va a ver a menudo "$dx$" coloca en el numerador, en lugar de junto y a la derecha de la función a ser integrado.

AÑADIDO: El resultado de su integración: $\;F(x) = \ln(\ln(x) + 1) + C,\;$ es "spot on": ahora usted simplemente necesita evaluar $\;F(e^6) - F(1),\;$ que confío en que usted puede hacer!