Un grupo de orden 105 contiene un subgrupo de orden 35.

Question

Tengo que demostrar que un grupo de orden 105 contiene un subgrupo de orden 35. ¿Alguien podría decirme cómo demostrarlo?

Gracias.

Answer 1

Tienes que utilizar el teorema de Sylow correctamente. Ya que $105 = 3 \cdot5\cdot 7$ el número $1 + 7k$ de subgrupos de 7-Sylow es 1 o 15. Si hay 15 subgrupos de este tipo entonces obtenemos $15 \cdot 6 = 90$ elementos de orden 7. Este hace imposible que el número $1 + 5k$ de subgrupos de 5-Sylow para ser 6 o más, ya que eso requeriría al menos $6\cdot 4 = 24$ elementos de orden 5, haciendo que el grupo demasiado grande. Por lo tanto, hay un único subgrupo $G_5$ de orden 5, y es normal. Para cualquier 7-Sylow subgrupo $G_7$ tenemos entonces que $G_5G_7$ es un subgrupo de orden 35, y su orden es 35 porque $G_5 \cap G_7 = 1$ . (En general, la intersección de un $p$ -Sylow y un subgrupo $q$ -Sylow subgrupo para $p \neq q$ debe ser trivial). Por otro lado, si existe un único subgrupo $G_7$ de orden 7, entonces es normal. Para cualquier subgrupo de 5-Sylow $G_5$ tenemos entonces que $G_5G_7$ es un subgrupo de orden 35 por las mismas razones que en el párrafo anterior pero con los papeles de 5 y 7 intercambiados.

Answer 2

Si $G$ es un grupo de orden $pqr$ , donde $p < q < r$ son primos, entonces $G$ contiene un subgrupo normal $R$ de orden $r$ (para saber cómo demostrarlo, véase esta pregunta ). Dado que $G$ también contiene un subgrupo $Q$ de orden $q$ el subgrupo $QR$ tiene orden $qr$ . Su problema es el caso $p = 3$ , $q = 5$ y $r = 7$ .

Answer 3

Un grupo $G$ opera en el conjunto de sus $p$ -Subgrupos de silo por conjugación. Si $G_7$ es cualquier $7$ -Sylow, opera en el conjunto de $5$ -Sylow, dividiendo así el conjunto de $5$ -Sylow en órbitas disjuntas de tamaño $7$ o $1$ cada uno. A menos que el número de $5$ -Los grupos de silo son un múltiplo de $7$ debe existir al menos una órbita de legth $1$ , es decir, un $5$ -Grupo Sylow $G_5$ que es fijado por nuestro $G_7$ es decir $G_7$ normaliza $G_5$ . Pero entonces $\langle G_5\cup G_7\rangle = G_7G_5$ tiene orden $35$ como se desee.

Del mismo modo, a menos que el número de $7$ -Los grupos de silo son un múltiplo de $5$ debe haber un $7$ -Grupo Sylow $G_7$ que se fija bajo la conjugación (es decir, se normaliza) por un $G_5$ elegimos, y de nuevo $\langle G_5\cup G_7\rangle = G_5G_7$ tiene orden $35$ .

Nos quedamos con el caso de que tanto el número de $7$ -Los grupos de silo son un múltiplo de $5$ y el número de $5$ -Los grupos de silo son un múltiplo de $7$ . A medida que el número de $5$ -Sylows también es $\equiv 1\pmod 5$ y el número de $7$ -Sylows es $\equiv 1\pmod7$ concluimos que hay al menos $21$ $5$ -Sylows y al menos $15$ $7$ -Se desploma, lo que lleva a por lo menos $21\cdot 4=84$ elementos de orden $5$ Al menos $15\cdot 6=90$ elementos de orden $7$ que ya nos da $174$ elementos - contradicción.